Minimization of energy functionals in elasticity

Abstract

Uno de los principales problemas en la teoría matemática de cuerpos elásticos es probar la existencia de estados de equilibrio de un cuerpo elástico sometido a fuerzas externas, sin embargo debido a la gran cantidad de modelos en elasticidad, es necesario desarrollar una teoría que incluya el mayor número de modelos. El objetivo de esta tesis es exponer métodos que permitan estudiar una amplia gama de problemas lineales descritos en la literatura. Los espacios de energía resultan ser adecuados para encontrar puntos mínimos, obteniendo así teoremas de existencia. El teorema central es una generalización de la desigualdad de Korn, con el cual se encuentran condiciones necesarias y suficientes para que un funcional tenga un estado de equilibrio en un espacio de Sobolev. Usando la teoría desarrollada se estudian algunos problemas en elasticidad, incluyendo funcionales de energía no lineales.

Abstract: Existence of equilibrium states of elastic bodies under a load is a main concern in the mathematical theory of elasticity, however the large number of models makes it necessary to develop a general theory that includes as many elastic models as possible. This thesis is devoted to linear models, and the methods exposed here cover most of the linear problems so far described in the literature. Energy spaces are a suitable setup for finding minimum points of energy functionals, so providing existence theorems. The central theorem is a generalization of Korn’s inequality, yielding sufficient and necessary conditions for a linear functional to have an equilibrium state in a Sobolev space. Some problems in elasticity are studied with the aid of the theory developed, including a nonlinear energy functional.