Transitionally commutative bundles and characteristic classes

Abstract

Let p : E ! M be a principal G-bundle, over a manifold M. Assume that we can nd an open cover of M together with trivializations over them in such a way that the corresponding transition functions commute with each other whenever they are simultaneously de ned. Such data de nes a transitionally commutative (TC) structure on the principal bundle. (We make this precise in Chapter 1.) In this thesis we developed characteristic classes for TC structures by using an algebraic-geometric method. For this we rst obtain generators of the cohomology with real coe cients of the classifying space for TC structures over principal G-bundles, a space known as BcomG. We then show that such cohomology is in one to one correspondence with TC characteristic classes. Next, we show how to use Chern-Weil theory to compute the TC characteristic classes for each of these generators. This is done through what we call the k-th associated bundle of the TC structu re. After developing this theory, we illustrate in some explicit examples how this can be applied. Additionally, we show that BcomGLn (R) can be obtained, up to homotopy equivalence, as a subspace of the Grassmanians.

Sea p : E ! M un G-fibrado principal sobre una variedad M. Asumamos que se puede encontrar un cubrimiento abierto para M, junto trivializaciones sobre sus abiertos, tal que las funciones de transición correspondientes conmutan entre si en la intersección de sus dominios. Esta información define lo que llamamos una estructura transicionalmente conmutativa (TC) en el fibrado principal. (Detallamos esto en el Capítulo 1; En esta tesis desarrollamos las clases características para las estructuras TC al usar un método algebraico geométrico. Para esto, primero obtenemos un conjunto de generadores de la cohomología con coeficientes reales del espacio clasificante para estructuras TC sobre G-fibrados principales. Este espacio es conocido como BcomG. Luego mostramos como existe una correspondencia uno a uno entre dichas clases y las clases características TC. En seguida, mostramos como podemos usar teoría de Chern-Weil para calcular las clases características TC respectivas a cada uno de estos generadores. Para esto de nimos los k-ésimos fibrados asociados de la estructura TC. Después de desarrollar esta teoría, mostramos, a través de unos ejemplos explicitos, como puede ser aplicada. Adicionalmente, mostramos que BcomGLn (R) puede ser obtenido, salvo equivalencia homotópica, como subespacio de los Grasmannianos.