Characterization of number fields by their integral trace form

Abstract

We prove that the integral trace form is a complete invariant for totally real number fields of fundamental discriminant. We also study the relations of this invariant with the trace-zero form and the shape of a number field, and give analog results for such invariants. As a consequence, we settle a conjecture from 2012 by Mantilla-Soler about tamely ramified quartic fields of fundamental discriminant. Our method of proof is based on what we call Casimir elements and Casimir pairings, new tools we introduce in this work, which are related to (and generalize) the Casimir elements from the representation theory of Lie algebras. Additionally, we give an alternative proof of this conjecture via Bhargava's parametrization of quartic rings.

Resumen: Probamos que la forma traza entera es un invariante completo para cuerpos de números totalmente reales de discriminante fundamental, también estudiamos la relación de este invariante con la forma traza-cero y la forma geométrica de un cuerpo de números, y damos resultados análogos para estos invariantes. Como consecuencia, probamos una conjetura del 2012 propuesta por Mantilla-soler sobre cuerpos cuarticos moderadamente ramificados de discriminante fundamental. Nuestro método de prueba se basa en lo que llamamos elementos de Casimir y emparejamientos de Casimir, herramientas nuevas introducidas en este trabajo, las cuales están relacionadas con (y generalizan) los elementos de Casimir de la teoría de representación de álgebras de Lie. Adicionalmente, damos una prueba alternativa de esta conjetura via la parametrización de anillos cuárticos de Bhargava.