Caracterización del delta-conjunto normal a conjuntos de subnivel de funciones convexas

Abstract

Sea $X$ un evtlc y $\Phi$ una función convexa, semicontinua inferior y propia en $X$. Dados $\lambda\in\R$ y $\delta\geq 0$, se prueba que para $\overline{x}\in S_\lambda:=[\Phi\leq\lambda]$ se cumple la fórmula \begin{equation} N^\delta_{S_\lambda}(\overline{x})=\sigma^*-\limsup_{\substack{\mu(\epsilon-\Phi(\overline{x})+\lambda)\to \delta \\ \mu\geq 0}}\mu\partial_\epsilon\Phi(\overline{x}), \label{sis} \tag{$\star$} \end{equation} sin necesidad de condiciones de calificación. En espacios de Banach, se recupera una fórmula para el cono normal que involucran el subdiferencial de Fenchel exacto, pero en puntos cercanos a $\overline{x}$. En el caso que el punto $\overline{x}$ satisfaga la condición de calificación de Slater, se extiende la validez de fórmulas conocidas en espacios de Banach a los evtlc. Se analiza el caso del cono normal a una intersección finita de conjuntos de subnivel. Se estudia qué es el lado derecho de \eqref{sis} en el caso que $\overline{x}\notin S_\lambda$ y $S_\lambda\neq\phi$, y el caso $S_\lambda=\phi$, para $\delta=0$. Por polaridad se muestra una caracterización del cono tangente a $S_\lambda$, cuando $\lambda=\Phi(\overline{x})$. Se ve una condición necesaria y suficiente de optimalidad para un problema de optimización convexa. Por último, por medio de \eqref{sis}, se muestra la semicontinuidad exterior de un operador, y se utiliza este hecho para probar una propiedad asintótica de un sistema dinámico de segundo orden que involucra al operador.