Construction of Solutions to Liouville Type Equations on The Torus

Abstract

En esta tesis doctoral se construyen soluciones para ecuaciones diferenciales parciales elípticas con no-linealidades exponenciales en el toro plano. La motivación proviene de ecuaciones de tipo Liouville en el estudio de la teoría de vórtices de Chern-Simons periódicos. En el primer capítulo mostramos el problema de vórtices de Chern-Simons periódicos, mencionando algunos resultados conocidos y deducimos su relación con la ecuación de campo medio (mean field equation). Mencionamos los resultados obtenidos para esta ecuación. Para una ecuación de tipo Liouville con una fuente singular se menciona el resultado conseguido. El segundo capítulo recopila algunos elementos que serán usados en los capítulos posteriores. Estos son nociones de valores críticos, la función de Green para el laplaciano en el toro y la ecuación de Liouville. En el tercer capítulo construimos soluciones para la ecuación de campo medio. A través de una reducción de Lyapunov-Schmidt aseguramos la existencia de una familia de soluciones que se concentran en puntos distintos del dominio, los cuales son caracterizados por un funcional en dimensión finita. En particular, recuperamos un resultado de Chen y Lin. Además, deducimos el mismo resultado bajo una condición de punto crítico más débil. En el cuarto capítulo realizamos una construcción análoga para una ecuación de tipo Liouville con una fuente singular. Bajo la condición que el peso de la fuente sea suficientemente grande aseguramos la existencia de una familia de soluciones que se concentran en un número de puntos del dominio, menor estricto que el peso de la fuente más uno. Estos puntos resultan ser distintos entre sí y distintos del punto donde está ubicada la fuente.