Problems of vibrations, acoustics and dissipation.

Abstract

The goal of this dissertation is to develop and analyze efficient numerical tools to deal with vibration problems for coupled systems involving elastic structures and dissipative fluids.We will consider the vibration problem of a clamped Timoshenko beam with variable cross section, an elasticity eigenproblem, an interaction problem between two heterogeneous dissipative fluids and a dissipative elastoacustic problem. In order to approximate the solutions of these problems, we use numerical methods based on the classical finite element method (FEM) and the discontinuous Galerkin method (DG). In the first part of this dissertation, we analyze a low-order finite element method to approximate the natural frequencies and the vibration modes of a non-homogeneous Timoshenko beam. We consider a formulation in which the bending moment is introduced as an additional unknown for the source problem. Optimal order error estimates are proved for displacements, rotations, shear stress and bending moment of the vibration modes, as well a double order of convergence for the vibration frequencies. These estimates are independent of the beam thickness, which leads us to the conclusion that the method is locking free with respect to this parameter. For the implementation of the numerical method, we show that the elimination of the displacements and rotations leads to a well posed generalized matrix eigenvalue problem whose solutions are comparable to the one obtained with other classical formulations in terms of computational cost. Some numerical experiments are presented to assess the performance of the method. In the second chapter, we address the interaction problem between two dissipative fluids. The presence of dissipation leads us to the study of a quadratic eigenvalue problem. A rigorous mathematical analysis of the spectral problem is performed to establish a spectral characterization of the associated solution operator. We prove that the solution operator admits an essential spectrum that is well separated from the physical spectrum. We use the lowest order Raviart-Thomas elements to discretize the problem. We observe that the presence of viscosity leads to new difficulties, since the solution operator is non-regularizing and therefore non compact. We prove that our proposed method is convergent and spurious modes free and that the corresponding eigenfunctions and eigenvalues converge with the expected order. The theoretical results are validated with some numerical experiments. In the third part we consider the dual mixed formulation for the elasticity equations written in terms of the stress and the rotation tensors. Our aim is to use a DG method to compute the lowest frequencies of the resulting mixed spectral problem. To this end, we approximate the stress tensor with polynomials of degree $k$ and the rotations with polynomials of degree $k-1$. We endow the DG spaces with their natural mesh dependent norms and adapt the non-compact operator theory to prove that our DG method does not introduce spurious modes for a small enough meshsize and a large enough stabilization parameter. We report some numerical examples to assess the performance of the method in relation with the stabilisation parameter, the meshsize and the polynomial degree. Finally, we present an elastoacustic problem, where a dissipative fluid contained in a rigid cavity is considered. The presence of dissipation leads to a quadratic eigenvalue problem. As in the previous chapters, the fluid is modeled with the Stokes equations and the solid with the linear elasticity equations. A continuous spectral formulation written in terms of the displacements of the fluid and the solid is presented and analyzed. The solution operator associated to the eigenvalue problem is introduced and its spectrum is characterized. A finite element method is introduced, where the displacement of the fluid is approximated with $ H(div)$ elements and the solid displacement with $ H^1$ elements. This particular choice of finite element spaces leads to a non-conforming method. The analysis of convergence, error estimates and spurious free results are obtained as in the second part of this dissertation. Some numerical experiments are presented to asses the performance of the method.

El objetivo de esta tesis es desarrollar y analizar herramientas numéricas eficientes para resolver problemas acoplados que involucran estructuras elásticas y fluidos acústicos disipativos. Con este fin, en particular consideraremos problemas de vibraciones para una viga de Timoshenko empotrada con sección transversal variable, el problema espectral para las ecuaciones de elasticidad lineal, un problema de interacción entre dos fluidos disipativos heterogéneos y un problema de elastoacústica disipativa. Para aproximar las soluciones de los problemas mencionados, utilizamos métodos numéricos basados en el clásico método de elementos finitos (FEM) y el método de Galerkin discontinuo (DG). En la primera parte de este trabajo estudiaremos un método de elementos finitos de bajo orden para aproximar las frecuencias más bajas del problema de vibraciones de una viga modelada con las ecuaciones de Timoshenko. La formulación que estudiaremos incorpora el momento flector como incógnita adicional. Demostraremos orden óptimo de convergencia para el desplazamiento, la rotación, el momento flector y el esfuerzo de corte de los modos de vibración, como también orden doble de convergencia para las frecuencias de vibración. Las constantes de las estimaciones demostradas son independientes del parámetro de espesor de la viga, por lo que el modelo resulta libre de bloqueo numérico. Se mostrará que el desplazamiento y la rotación pueden ser eliminados, para obtener un problema matricial generalizado de valores propios con menor costo computacional, similar al de las formulaciones clásicas. Presentamos experimentos numéricos que confirman los resultados teóricos obtenidos. En la segunda parte de esta tesis, abordamos el problema de interacción de dos fluidos heterogéneos viscosos. La viscocidad produce el efecto de disipación, el cual, nos llevará a estudiar un problema de valores propios cuadrático. En esta parte proponemos un riguroso análisis matemático del problema espectral para establecer una caracterización espectral del operador solución asociado al problema de valores propios, mostrando que el operador solución admite un espectro esencial. Para la aproximación numérica, implementaremos un método de elementos finitos basado en los elementos de Raviart-Thomas de primer orden, que usaremos para discretizar el problema todo el dominio. Notamos que la presencia de viscosidad en nuestra formulación conlleva a nuevas dificultades, debido a que el operador solución resulta ser no regularizante y por lo tanto no compacto. Por este motivo, y para demostrar las propiedades de aproximación espectral, debemos emplear nuevas técnicas. Mostraremos que nuestro método es convergente, que no introduce modos espurios, y que las correspondientes autofunciones y valores propios convergen con el orden teóricamente esperado. Corroboraremos nuestro análisis con ejemplos numéricos. En la tercera parte de este trabajo, consideramos una formulación dual mixta para el problema de elasticidad lineal, la cual está escrita en términos del tensor de esfuerzo y del tensor antisimétrico de rotaciones. La idea central de esta tercera parte es definir una discretización usando un método de Galerkin discontinuo (DG), para aproximar con polinomios de grado $k$ el tensor de esfuerzos, y polinomios de grado $k-1$ el tensor de rotaciones. Adaptamos la teoría de operadores no compactos para estas nuevas normas dependientes de la malla, demostrando que las estimaciones son independientes de la malla y que el método numérico no introduce frecuencias de vibración espurias. Se realizarán diversos experimentos numéricos con el fin de estudiar el comportamiento del método en relación al parámetro de estabilización, el tamaño de las mallas y el grado polinomial. Finalmente, presentamos un problema de elastoacústica donde consideramos un fluido viscoso contenido en una cavidad rígida. La presencia de viscosidad nos lleva en este caso particular a un problema de elastoacústica disipativa. El fluido será modelado con las ecuaciones de Stokes, considerando el término disipativo y el sólido con las ecuaciones de elasticidad lineal. Se presentará una formulación continua escrita en términos de los desplazamientos del fluido y del sólido para el problema de valores propios, el cual resulta ser cuadrático debido a la presencia de disipación en el fluido. Se estudiará el buen planetamiento del problema continuo, y una caracterización espectral del operador solución asociado. Se introducirá un método de elementos finitos no conforme, donde el dominio del sólido es discretizado con elementos para $ H^1$ y el fluido con elementos para $ H(div)$. Demostraremos que el método es convergente y no introduce modos espurios, utilizando las herramientas empleadas en la segunda parte de esta tesis. Presentaremos algunos experimentos numéricos que corroboran los resultados teóricos obtenidos.