| dc.description.abstract | El objetivo principal de esta tesis es desarrollar un an´alisis de error a priori y a posteriori de un m´etodo
de elementos finitos completamente mixto para un problema de interacci´on s´olido-fluido bidimensional.
Adem´as de lo anterior, se deduce un estimador de error a posteriori residual, confiable y eficiente, para
el problema de elasticidad lineal en el plano con condiciones de frontera de tracci´on pura.
Primero, se desarrolla un an´alisis de error a priori de un m´etodo de elementos finitos completamente
mixto para un problema de interacci´on s´olido-fluido bidimensional. El modelo se rige por las ecuaciones
de la elastodin´amica y la ac´ustica en r´egimen de tiempo arm´onico, y las condiciones de transmisi´on est´an
dadas por el equilibrio de fuerzas y la igualdad de los correspondientes desplazamientos normales. Se
introduce una formulaci´on dual mixta en ambos dominios, la cual tiene el esfuerzo y la rotaci´on en el s´olido,
adem´as del gradiente de presiones en el fluido, como las principales inc´ognitas. A su vez, ambas condiciones
de transmisi´on son esenciales, las cuales se imponen d´ebilmente por medio de multiplicadores de Lagrange.
Luego, se muestra una descomposici´on apropiada del espacio al cual pertenecen el esfuerzo y el gradiente
de presiones, y posteriormente se aplica la teor´ıa de Babuˇska-Brezzi y la alternativa de Fredholm, para
realizar el an´alisis de la formulaci´on continua. Posteriormente, las inc´ognitas se aproximan por un esquema
de Galerkin conforme definido en t´erminos de los elementos de Raviart-Thomas de bajo orden en ambos
dominios, y las funciones lineales a trozos continuas sobre las fronteras. Entonces, el an´alisis discreto se
basa en una descomposici´on estable de los espacios de elementos finitos correspondientes y en un resultado
cl´asico de m´etodos de proyecci´on para operadores de Fredholm de ´ındice cero.
Por otro lado, a modo de an´alisis preliminar y tambi´en como un subproducto de esta tesis, se considera
un problema de elasticidad lineal bidimensional con condiciones de frontera de Neumann no homog´eneas,
y se deduce un estimador de error a posteriori residual, confiable y eficiente para su formulaci´on variacional
dual mixta, en t´erminos del esfuerzo, el desplazamiento y la rotaci´on. La demostraci´on de la
confiabilidad hace uso de un problema auxiliar apropiado, la condici´on inf-sup continua y las propiedades
de aproximaci´on local de los operadores de interpolaci´on de Cl´ement y Raviart-Thomas. A su vez, las
desigualdades de traza discreta e inversa, y la t´ecnica de localizaci´on basada en funciones burbuja sobre
tri´angulos y lados, son las principales herramientas para probar la eficiencia del estimador.
Finalmente, se deduce un estimador de error a posteriori, basado en t´erminos residuales, confiable
y eficiente, para el problema de interacci´on estudiado en la primera parte. Las principales herramientas
para probar la confiabilidad involucran una condici´on inf-sup global, las descomposiciones de Helmholtz
continua y discreta en cada dominio, y las propiedades de aproximaci´on local de los operadores de interpolaci´on
de Cl´ement y Raviart-Thomas. Luego, se aplican las mismas t´ecnicas mencionadas anteriormente
para obtener la eficiencia. Finalmente, varios resultados num´ericos confirman la confiabilidad y eficiencia
del estimador, e ilustran el comportamiento del esquema adaptivo asociado. | |
