| dc.description.abstract | El objetivo de esta tesis es estudiar el Principio de Continuación Única (P.C.U.) para ecuaciones diferenciales parciales en una variable espacial, tanto lineales como no lineales. En la Introducción se explica con más detalle lo que esta propiedad requiere de las soluciones de una ecuación diferencial. En el Capítulo 1, se presenta una adaptación de las desigualdades de Treves para el caso de dimensión dos. Estas son desigualdades tipo Carleman para operadores con coeficientes constantes. Para una mayor información en este tema recomendamos su libro [28]. Es necesario aclarar que estos resultados aparecen en los artículos de Dávila [8], sin embargo se han dado demostraciones originales de cada uno de ellos. Su importancia radica en que son la base desde la que se enfoca el estudio del P.C.U. en lo que sigue. En este capítulo se retoman además las ideas de Dávila como las de Niremberg. La primera bajo el título de Circunferencia Móvil y la segunda bajo el nombre de Familias de Elipses. Aunque nosotros utilizamos sólo esta última en nuestro trabajo, se ha decidido agregar la primera debido a que puede ser útil en investigaciones posteriores. En el Capítulo 2 se presenta un teorema que puede ser aplicado a ecuaciones no lineales. Este teorema da una condición suficiente para la ocurrencia del P.C.U. en términos de la parte con coeficientes constantes del operador, queremos hacer notar que éste requiere sólo que los coeficientes del operador sean localmente acotados, al menos en el caso de dos variables. En el Capítulo 3 presentamos una serie de aplicaciones del teorema al que nos referíamos anteriormente, a diferentes ecuaciones concretas. En primer lugar consideramos la ecuación de Schródinger que es la ecuación que rige la dinámica en Mecánica Cuántica. Continuamos con la ecuación de la viga con una perturbación lineal y la ecuación de Timoshenko, que considera el caso de una perturbación no lineal, no local. También tratamos la ecuación de Korteweg de Vries (KdV), que modela ondas solitarias y damos una demostración alternativa de un caso general desarrollado con anterioridad en [24]. En el Capítulo 4 se estudia una propiedad que hemos llamado Principio de Unicidad (P.U.). Se trata de averiguar si dadas dos soluciones de una ecuación diferencial parcial no lineal que coinciden en un abierto de R2 , necesariamente coinciden en la componente horizontal de éste. En general, el hecho que una ecuación diferencial cumpla el Principio de Continuación única, no implica necesariamente que cumpla el Principio de Unicidad. A modo de ejemplo presentamos al comienzo de este capítulo una ecuación diferencial ordinaria que cumple el P.C.U. pero no el P.U. Esto justifica de alguna forma el esfuerzo posterior por demostrar el Principio de Unicidad, para las ecuaciones tratadas en el capítulo anterior. En el Capítulo 5 consideraremos sistemas acoplados de Ecuaciones Diferenciales Parciales de segundo orden. Comenzamos por establecer desigualdades tipo Treves, similares a las utilizadas en el Capítulo 1. Estas desigualdades son generales, pero se aplican a sistemas muy particulares pues deben ser bastante simétricos. Se trata de operadores matriciales con coeficientes constantes. En la segunda parte, se demuestra el P.C.U. para sistemas de ecuaciones de Schródinger con acoplamiento no lineal. Para esto, se separa el operador en una parte lineal más una perturbación y se combinan las desigualdades teóricas de la primera parte con estimaciones en las que aparece la perturbación para obtener la desigualdad tipo Carleman de la que se deduce directamente el P.C.U. para el sistema. Se presentan también dos sistemas en que el estudio de esta propiedad esta actualmente abierto. En el Capítulo 6 se presenta una aplicación no trivial del P.C.U. en un área de las ecuaciones de evolución que tiene interés en si misma. Las ecuaciones de evolución que consideramos son siempre homogéneas de modo que la solución nula, es siempre un punto de equilibrio. La pregunta es si ésta es asintóticamente estable, en el sentido que cualquier otra solución converge a ella cuando t tiende a infinito en una norma adecuada. Esta propiedad se conoce como estabilización y ocurre cuando una ecuación conservativa está sujeta a una disipación. En la primera sección se introducen conceptos básicos de la teoría de semigrupos que se puede encontrar entre otros en [22]. La herramienta fundamental es el llamado Principio de Invariancia de La Salle cuyo enunciado se encuentra al final de la sección. En la segunda sección se presentan dos ecuaciones tipo Schródinger, una lineal y otra no lineal. En ambos casos se prueba que si la solución pertenece a un espacio adecuado de funciones entonces cuando el tiempo t tiende a infinito, la solución converge a cero en L2. Para terminar en el Apéndice está la demostración del Teorema de existencia y unicidad, para el caso de la ecuación no lineal de Schr6dinger cuya estabilidad se estudia en el capítulo anterior. | |
