Relación entre autovalores y geometría; aplicaciónes a física y a ingeniería.

Abstract

La Tesis se aboca a atacar 2 problemas inversos. El primero se ambienta en el campo de la Física Matemática. Consiste en demostrar la conjetura λ2 - λ1 para un dominio convexo Ω, donde λ, es el i-ésimo autovalor del problema de autovalores para el operador de Laplace con condiciones de frontera de Robin, y D es el diámetro mayor de Ω. La demostración de esta conjetura encontró su dificultad en el argumento de la log-concavidad de u1 (la primera autofunción del problema dado), pieza necesaria en la demostración, obteniéndose un argumento de plausibilidad. El segundo problema se ambienta en el área de la ingeniería. Consiste en medir voltajes y corrientes en la frontera de un cuerpo, para luego a partir de dichos datos reconstruir la imagen de conductancia interior. Ésto es lo que se conoce como la tomografía por impedancia eléctrica, cuyas siglas en inglés son EIT. El problema es en particular complejo, pues pertenece al grupo de los problemas que en matemáticas se conoce como ili-posed, además es no lineal, lo que afecta a la convergencia de los distintos algoritmos que se han desarrollado. En este trabajo se implementa un programa basado en el algoritmo de sensibilidad, el cual se analiza en extenso.