Una aplicación del Teorema de Categoría de Baire: Sobre funciones continuas en ninguna parte diferenciables

Abstract

En la presente tesis se muestra una aplicación del Teorema de Categoría de Baire al espacio de las funciones continuas en ninguna parte diferenciables; esto es, se demuestra el Teorema de Banach-Mazurkiewicz que dice lo siguiente: el espacio de las funciones continuas que son en ninguna parte diferenciables en [0, 1], es de segunda categoría en el espacio de las funciones continuas en [0, 1] con la métrica del supremo. Además, también se demuestra que el espacio de las funciones continuas que tienen derivada en al menos un punto de [0, 1] es de primera categoría. Para lograr esto, primero se presentan algunos antecedentes históricos relacionados al espacio de las funciones continuas en ninguna parte diferenciables; luego, se presentan algunas definiciones y teoremas del análisis real, de espacios métricos y del análisis funcional, exponiéndose las demostraciones de ciertos teoremas fundamentales para la presente tesis, tales como: el teorema de la categoría de Baire y resultados de espacios métricos completos

ABSTRACT In the present thesis an application of Baire’s Category Theorem to the space of continuous nowhere differentiable functions is shown; that is, the Banach-Mazurkiewicz Theorem is proved, which says the following: the space of continuous functions that are nowhere differentiable on [0, 1], is of the second category in the space of continuous functions on [0, 1] with the supremum metric. In addition, it is shown that the space of continuous functions that have derivative in at least one point of [0, 1] is of first category. To achieve this, firstly some historical background related to the space of continuous functions that are nowhere differentiable is presented; then, some definitions and theorems of real analysis, metric spaces and functional analysis are presented, exposing the proofs of certain fundamental theorems for this thesis, such as: Baire’s category theorem and results of complete metric spaces