Calculo Pseudodiferencial y Teoria Espectral.

Abstract

La investigación sobre el espectro de un operador y sus múltiples propiedades tiene una larga tradición en las matemáticas puras y aplicadas. En este proyecto nos concentramos en propiedades que se derivan del estudio del operador como elemento de un álgebra de operadores adecuada así como del cálculo pseudodiferencial. En particular se establecen fórmulas de Plemelj -Smithies para determinantes de los operadores correspondientes. La relación básica entre la traza , el determinante y los valores propios está dada por la fórmulas de Lidskii y Grothendieck - Lidskii . Los valores propios y la pertenencia a un ideal de operadores se relacionan mediante la desigualdad de Weyl . Como resultado principal hemos obtenido fórmulas para el determinante de Poincaré en términos del símbolo de la ecuación correspondiente. El prototipo de aplicación fue la ecuación diferencial de Hill sobre el toro, para la cual se establecieron propiedades de existencia aplicando el determinante de Poincaré. Estos resultados se lograron aún para ecuaciones más generales en dimensiones superiores usando la noción de cuantización toroidal. En conclusión, la aplicación de una interrelación entre álgebras de operadores, determinantes y operadores pseudodiferenciales permitió establecer buenas propriedades para ecuaciones diferenciales que extienden la ecuación diferencial de Hill a dimensiones superiores. Los métodos empleados claramente son susceptibles de aplicarse a otro tipo de variedades donde se dispone de una buena transformada de Fourier.