Ultraproductos métricos de grupos: grupos sóficos e hiperlineales

Abstract

En este estudio, se investiga el concepto de grupos sóficos y grupos hiperlineales, introducidos por Gromov y estudiados por Benjamin Weiss. Estos grupos son de interés en la teoría de grupos, teoría de modelos y álgebras de von Neumann, con aplicaciones en física teórica. Se exploran las definiciones y características de estos grupos, incluyendo su relación con la amenabilidad y la finitud residual. Se plantea la conjetura de los grupos sóficos como una generalización del teorema de Cayley para grupos finitos. Se introducen las versiones clásicas de los grupos sóficos y hiperlineales, y se establece una equivalencia entre ellas. Se presenta la teoría de grupos métricos y los ultraproductos métricos como herramientas clave en el estudio de estos grupos. Se examinan ejemplos y contrastes en los ultraproductos métricos de grupos finitos con diferentes métricas. Se exploran caracterizaciones de los grupos sóficos y se demuestra que generalizan a los grupos amenables y residualmente finitos. Se concluye destacando las preguntas fundamentales que motivan este proyecto: ¿todo grupo es sófico? y ¿existen grupos hiperlineales que no sean sóficos?