Um estudo sobre Proper Orthogonal Decomposition: fundamentação teórica

Abstract

The main objective of this work is to study the mathematical foundations of the Proper Orthogonal Decomposition (POD) method, the essence of which is to provides an orthogonal basis for representing a given set of data in a certain least-squares optimal sense. This method can be used to create low-order models. Its foundation is based on results of functional analysis and spectral theory in Hilbert spaces. The main results related to POD are linked to the spectral representation of compact and self-adjoint operators. These theorems are used in the description of the POD method. At the end of the work, it is presented two illustrative examples as application of the method; the first in the wave equation, and the second in the undamped free vibration of a structure.

O objetivo principal deste trabalho é estudar os fundamentos matemáticos do método Proper Orthogonal Decomposition (POD), cuja essência é prover uma base ortogonal para representar um determinado conjunto de dados de uma forma “ótima” no sentido de mínimos quadrados. Este método pode ser usado para criar modelos de ordem reduzida. Sua fundamentação está baseada em resultados da análise funcional e da teoria espectral em espaços de Hilbert. Os principais resultados relacionados ao POD estão ligados a representação espectral dos operadores compactos e auto-adjuntos. Esses teoremas são utilizados na descrição do método POD. Ao fim do trabalho, são apresentados dois exemplos ilustrativos de aplicação do método; o primeiro na equação da onda, e o segundo na equação da vibração livre não-amortecida de uma estrutura.