Tesis
Métodos topológicos para algunas ecuaciones diferenciales funcionales resonantes no lineales
Topological methods for some resonant nonlinear functional differential equations
Autor
Déboli, Alberto Fernando
Institución
Resumen
En esta tesis se estudia la existencia de soluciones de dos ecuaciones diferenciales funcionales resonantes no lineales. Por un lado, se estudia existencia de al menos una solución de un problema de segundo orden con condiciones de Neumann bajo diferentes condiciones impuestas a la no linealidad, con la particularidad de que ésta depende de los valores de la solución desconocida en el borde del dominio. Más precisamente, se prueba la existencia de al menos una solución adaptando a este tipo de problemas las condiciones clásicas de Landesman-Lazer para el caso escalar y para el caso de un sistema, la condición de Nirenberg. Por otro lado, se estudia un problema de primer orden con una no linealidad que depende de varios retardos variables. Más precisamente, se prueba un resultado de existencia de al menos una solución periódica positiva para el caso escalar y para un sistema, y un resultado de estabilidad generalizando los obtenidos por otros autores. En todos los problemas estudiados, las no linealidades están condicionadas en sus argumentos y se trata de problemas resonantes en el sentido de que el operador lineal de diferenciación involucrado tiene núcleo no trivial. El principal método que se implementa, en cada caso, para probar existencia de solución se basa en la teoría del grado de coincidencia de Mawhin, el cual es una generalización del grado topológico de Leray Schauder. No obstante, existen problemas resonantes en los que el grado de coincidencia no se aplica; el problema de segundo orden bajo condiciones de Neumann en un dominio no acotado es un caso particular de ese tipo y se aborda recurriendo al método de las sub y super soluciones ordenadas combinado con un argumento del tipo diagonal.