Diagramas de órbitas e leis de escala em sistemas dinâmicos não lineares

Abstract

Nesta dissertação foram investigadas algumas propriedades dinâmicas no mapa Ricker, parametrizado pelo parâmetro de controle r. Esse mapeamento pertence a um conjunto de mapas unidimensionais discretos utilizados para descrever a dinâmica de populações biológicas. Construímos o diagrama de órbitas e calculamos os expoentes de Lyapunov para avaliar o comportamento do sistema. Para a bifurcação em r = 0, realizou-se a análise da relaxação, fornecendo o expoente de relaxação δ = −1, classificando-a como bifurcação transcrítica. Para a bifurcação em r = 2, determinamos os expoentes característicos de decaimento de órbita para estado estacionário via método numérico e analítico, como sendo α = 1, β = −0, 5 e z = −2, classificando-a como duplicação de período. Também foram calculadas as órbitas supertracks, um conjunto de funções iterativas contínuas não sensíveis às condições iniciais. Com essas funções, foram extraídos os valores dos expoentes de decaimento das órbitas supertracks para o ponto fixo. O principal objetivo do trabalho foi caracterizar as propriedades dinâmicas do mapa Ricker com diferentes metodologias, podendo determinar a natureza de algumas bifurcações via método tradicional e também via supertracks, e por fim poder relacionar algumas de suas propriedades com modelos teóricos já conhecidos como o circuito de Chua.

In this dissertation some dynamical properties were investigated in the Ricker map, parameterized by the control parameter r. This mapping belongs to a set of discrete onedimensional maps used to describe the dynamics of biological populations. We construct the orbit diagram and calculate the Lyapunov exponents to evaluate the behavior of the system. For the bifurcation at r = 0, we performed relaxation analysis, providing the relaxation exponent δ = −1, classifying it as a transcritical bifurcation. For the bifurcation at r = 2 we determined the characteristic orbit decay exponents for steady state via numerical and analytical method, as being α = 1, β = −0.5 and z = −2, classifying it as period doubling. Also calculated were the supertracks orbits, a set of continuous iterative functions not sensitive to initial conditions. With these functions, the values of the decay exponents of the supertracks orbits for the fixed point were extracted. The main goal of the work was to characterize the dynamic properties of the Ricker map with different methodologies, being able to determine the nature of some bifurcations via the traditional method and also via supertracks, and finally being able to relate some of its properties with theoretical models already known as the Chua circuit.