Determinação de comportamento não caótico de sistemas diferenciais quadráticos em R^3 via superfícies algébricas invariantes

Abstract

Neste trabalho, apresentamos uma condição algébrica suficiente para determinar o comportamento não caótico de sistemas diferenciais polinomiais definidos em R^3. Usando essa condição, apresentamos um resultado parcial para uma conjectura sobre a não caoticidade de sistemas diferenciais polinomiais quadráticos definidos em R^3 com matriz jacobiana simétrica. Além disso, utilizando o mesmo resultado, estabelecemos condições para que certas classes de equações diferenciais ordinárias da forma x = f(x, ˙ x, ¨ x), conhecidas como jerk equations, e certas classes de sistemas do tipo Lorenz, não apresentem comportamento caótico. Por fim, investigamos o comportamento qualitativo de sistemas diferenciais polinomiais quadráticos definidos em R^3 que apresentam quádricas do tipo Gp = x2+y2−z2+p, com p ∈ [−1,1], como superfícies algébricas invariantes, incluindo o estudo do comportamento no infinito utilizando compactificação de Poincaré.

In this work, we present a sufficient algebraic condition to determine the nonchaotic behavior of polynomial differential systems defined in R^3. Using this condition, we present a partial positive answer for a conjecture concerning the nonchaotic behavior of quadratic differential systems in R^3 with a symmetric Jacobian matrix. Furthermore, using the same result, we establish conditions for certain classes of ordinary differential equations of the form x = f(x, ˙ x, ¨ x), called jerk equations, and certain classes of Lorenz-Like systems do not present chaotic behavior. Finally, we investigate the qualitative behavior of quadratic polynomial differential systems in R^3 which present the quadrics Gp = x2 + y2 − z2 + p, with p ∈ [−1,1] as invariant algebraic surfaces, including the study of their behavior at infinity, via Poincaré compactification.