Otimização topológica para máxima carga de colapso plástico

Abstract

O objetivo deste trabalho é buscar projetos estruturais decorrentes de procedimentos de otimização topológica que visem maximizar a capacidade de carga em relação ao colapso plástico incipiente. O problema mecânico é descrito pela formulação de Análise de Limite (AL) que permite uma determinação direta da carga que induz o fenômeno de colapso de plástico, sem necessidade de conhecimento do histórico de carregamento. No caso de processos de carregamento proporcional, a AL consiste em calcular um fator de carga crítico, de tal forma que a estrutura sofre colapso plástico quando a carga de referência é amplificada por este fator. Nesse caso, a AL pode ser definida matematicamente como um problema de otimização com restrições convexas. A otimização topológica é formalmente descrita como a maximização do fator de carga de colapso sujeito a uma quantidade fixa de material disponível. O domínio é controlado pela técnica SIMP. No caso particular da função objetivo escolhida, a solução do problema adjunto, na análise de sensibilidade, coincide com o vetor de atualização de Newton-Raphson obtido na convergência do procedimento desenvolvido para resolver o problema de otimização de AL, fato que reduz o custo computacional do cálculo do gradiente. A fim de manter a implementação simples, as condições de otimalidade são resolvidas por um algoritmo heurístico de atualização de densidade elemento a elemento, bem conhecido na literatura. O conjunto de exemplos testados traz estruturas carregadas até os limites máximos de carregamento. A implementação foi mantida o mais simples possível, deixando o campo aberto para futuras investigações. Testes numéricos mostram que, apesar de possuírem geometrias semelhantes, o fator de colapso plástico obtido para topologias encontradas por formulação de Compliance é menor do que os obtidos com a formulação atual.

Abstract : The objective of this work is to look for structural designs arising from topological optimization procedures that aim at maximizing the loading capacity regarding incipient plastic collapse. The mechanical problem is described by Limit Analysis (LA) formulation that allows a direct determination of the load that produces the plastic collapse phenomenon without information about the load history. In case of proportional loading processes, LA consists of computing a critical load factor such that the structure undergoes plastic collapse when the reference load is amplified by this factor. In this case, LA can be cast mathematically as a convex constrained optimization problem. The design optimization is formally stated as the maximization of the collapse load factor subject to a fixed quantity of available material. The design is controlled by SIMP technique. In the particular case of the chosen objective function, the solution of the adjoint problem in sensitivity analysis coincides with the Newton-Raphson update vector obtained at the convergence of the procedure developed to solve the LA optimization problem, fact that reduces the numerical cost of gradient calculations. In order to keep the implementation straightforward, the optimality conditions are solved by a classical heuristic element-by-element density updating algorithm, well known in the literature. The set of tested examples present structures being stressed to ultimate bearing states. Implementation was kept as simple as possible, leaving the field open to further investigations. Numerical tests show that, despite having similar geometries, plastic collapse factor obtained with compliance optimal designs are lower than those obtained with present formulation.