Método das projeções relaxadas com penalização uniformemente convexa para solução de sistemas lineares mal-postos em espaços de Banach

Abstract

Problemas inversos formam uma classe de problemas matemáticos que possuem várias aplicações de relevância prática. Sendo um problema inverso frequentemente caracterizado como um problema mal-posto, métodos de regularização são necessários para calcular soluções numericamente. Este trabalho se dedica ao estudo de um método iterativo que visa obter soluções de problemas mal-postos formulados por operadores lineares que atuam entre espaços de Banach. Trata-se de um método do tipo Tikhonov iterado não-estacionário com o termo de penalização sendo a distância de Bregman induzida por uma função uniformemente convexa. A escolha dos parâmetros de regularização é feita a posteriori e a estratégia adotada para o cálculo dos multiplicadores de Lagrange gera o chamado método das projeções relaxadas. Para a formulação do algoritmo são usadas técnicas de otimização e análise convexa em espaços de Banach. O estudo trata de uma análise teórica, onde se discute as propriedades de convergência, estabilidade e regularização das soluções computadas pelo método proposto.

Abstract: Inverse problems are a class of mathematical problems that have several applications of practical relevance. Due to the fact that an inverse problem often leads to an ill-posed problem, regularization methods are needed in order to compute solutions numerically. This work is dedicated to the study of an iterative method that aims to obtain solutions for ill-posed problems formulated by linear operators acting between Banach spaces. It is a nonstationary iterated Tikhonov-type method with the penalty term being the Bregman distance induced by a uniformly convex function. The choice of regularization parameters is made a posteriori, and the strategy adopted to compute the Lagrange multipliers generates the so-called range relaxed method. The algorithm is defined employing optimization and convex analysis techniques in Banach spaces. The study deals with a theoretical analysis, where the properties of convergence, stability, and regularization of the solutions computed by the proposed method are discussed.