Teorema do mergulho de Nash

Abstract

Apresentaremos uma demonstração para o célebre teorema de Mergulho de Nash, que afirma de toda variedade riemanniana compacta pode ser mergulhada isométricamente em algum espaço elucidado. A ideia central na demonstração apresentada nesse trabalho é devido a Gunthier1989 que consiste em usar o operado pseudo diferencial $(1-\Delta)^{-1}$ para contornar o problema de perda de diferenciabilidade. No capítulo 2 introduziremos a linguagem básica dos operadores pseudo diferenciais e mostraremos como tais operadores agem em alguns espaços de funções, tais como os espaços de Sobolev. No capítulo 3 introduziremos a decomposição de Littlewood-Paley e usaremos ela para obter certas estimas para controlar a norma do produto e composições de funções. Já o último capítulo é dedicado a prova do teorema de mergulho de Nash.

Abstract: We will present a demonstration of the celebrated Nash embedding theorem, this theorem states that every compact Riemannian manifold can be isometrically embedded into some Euclidean space. The central idea of the demostrate presented in this thesis is due to Gunthier1989 that consists in use the pseudo-differential operator $(1-\Delta)^{-1}$ to avoid the phenomenon of loss of differentiability. In chapter 2 we will introduce the basic language of pseudo-differential operators and we will show how this operator acts in some familiar spaces of function, such that Sobolev Spaces. In chapter 3 we will introduce the Littlewood-Paley decomposition and we will use it for get certain estimates for control the norm of the product and composition of functions. In the last chapter we will present the proof of the Nash embedding theorem.