Métodos tipo Tikhonov com minimização inexata e o método Tikhonov Kaczmarz para resolver sistemas de equações lineares mal postos

Abstract

Na primeira parte deste trabalho, propomos e estudamos as propriedades de três dis- tintos algoritmos para obter soluções aproximadas estáveis para sistemas de equações mal postas modeladas por operadores lineares atuando entre espaços de Hilbert. De- senvolvemos uma versão inexata do método de Tikhonov de um passo penalizado com funcional uniformemente convexo, bem como uma versão inexata para os métodos de Tikhonov iterado. Para o caso de métodos de um passo, propomos dois algoritmos distintos, um baseado em escolha a priori e outro baseado na escolha a posteriori do parâmetro de regularização. As propriedades de convergência e estabilidade são provadas, bem como taxas ótimas de convergência (sob condição de fonte apropriada). Estabelecemos ainda uma variante do método de Tikhonov iterado com a escolha a posteriori da sequência dos parâmetros de penalização. Para este algoritmo, provamos estabilidade para dados com ruídos e a propriedade de regularização. Na segunda parte deste trabalho propomos e analisamos um método tipo Tikhonov Iterado Kaczmarz relaxado não estacionário (TIKr). Generalizamos para o TIKr crité- rios propostos em [6] para o método iterado de Tikhonov (iT). O objetivo é obter uma estratégia eficiente para a escolha dos multiplicadores de Lagrange neste método. Es- tabelecemos para o método TIKr estabilidade e regularização. Apresentamos modelos de aplicações para duas aplicações, a saber: um problema de desfoque de imagem e o problema do potencial inverso. Os resultados numéricos obtidos validam a eficiência do método proposto.

Abstract: In the first part of this work, we propose and study the properties of three distinct algo- rithms to obtain stable approximate solutions for ill-posed equations modeled by linear operators acting between Hilbert spaces. We have developed an inexact version of the Tikhonov method penalized by an uniformly convex functional, as well as an inexact version for the iterated Tikhonov method. For one-step methods, we propose two dis- tinct algorithms, one based on a priori choice and another based on a posteriori choice of the regularization parameters. Convergence and stability properties are established, as well as optimal convergence rates (under appropriate source conditions). We also established a variant of the iterated Tikhonov method with a posteriori choice of the sequence of regularization parameters. For this last algorithm, we prove stability for noisy data and the regularization property. In the second part of this work we propose and analyze a Kaczmarz version of the relaxed nonstationary iterated-Tikhonov method (TIKr). We generalized for TIKr the cri- teria proposed in [6] for the iterated Tikhonov (iT) method. The goal is obtain an efficient strategy for choosing Lagrange multipliers in this method. We established for the TIKr method stability and regularization properties. We present application models for two applications, namely: an image blurring problem and the inverse potential problem. The numerical results obtained validate the efficiency of the proposed method.