Estabilização de sistemas lineares com cálculo explícito dos ganhos de realimentação via conjuntos invariantes poliédricos

Abstract

A invariância positiva tem sido reconhecida como uma ferramenta teórica poderosa e amplamente explorada para tratar vários problemas de controle onde é necessário lidar com restrições práticas, como limites de amplitude aplicados às variáveis de controle, estado ou saída. Em particular, a determinação de conjuntos invariantes garante propriedades de estabilidade local para sistemas sujeitos a restrições, funções de Lyapunov poliédricas associadas e permite considerar conjuntos convexos poliédricos. Esses conjuntos têm recebido atenção especial em virtude de sua propriedade de ajustar-se melhor às restrições em amplitude. Nesta tese lida-se com a estabilização de sistemas lineares discretos invariantes no tempo por Realimentação de Estado (StF, State Feedback) e por Realimentação Estática de Saída (SOF, Static Output Feedback) via conjuntos invariantes poliédricos. Inicialmente, um método para estabilização por StF, baseado em restrição de posto, foi desenvolvido para a resolução das condições algébricas de Invariância Positiva, cuja programação torna-se linear nas variáveis de decisão. O problema de estabilização por SOF de sistemas sujeitos a restrições foi abordado via programação bilinear (PB). No caso especial de sistemas sujeitos a perturbações persistentes, cujas amplitudes são limitadas, utiliza-se a propriedade de -invariância, a qual garante que toda trajetória de estados que parte de um conjunto -invariante permanecerá neste conjunto e será ultimamente limitada em algum de seus subconjuntos. A obtenção desta propriedade, para um conjunto de restrições de estado a priori conhecido, via relações algébricas que descrevem a -invariância, caracteriza condições lineares em relação às variáveis matriciais envolvidas, incluindo a matriz de ganhos de realimentação. Em geral, o conjunto de restrições de estado (X ? Rn) não pode ser feito -invariante com uma lei de controle linear ou mesmo nãolinear. Neste contexto, objetiva-se nesta tese a determinação conjunta de uma lei de controle linear SOF, um poliedro -invariante, contido no interior de X, e um poliedro mais interno no qual as trajetórias são ultimamente limitadas. Assim, um novo conjunto de condições algébricas é proposto garantindo a propriedade de -invariância e a contratividade de um conjunto interno de X para um conjunto mais interno cujas trajetórias permanecem limitadas no mesmo. A metodologia de projeto de controladores é baseada na resolução destas relações algébricas via PB e na utilização de uma função objetivo a qual pondera a maximização do poliedro -invariante e a minimização do poliedro com trajetórias ultimamente limitadas. Os exemplos numéricos apresentados mostram que a utilização do solver não linear KNITRO permite encontrar soluções adequadas e eficientes tanto para SOF quanto para StF.

Abstract: Positive invariance has been recognized as a powerful and widely explored theoretical tool for various control problems where practical constraints such as amplitude limits applied to control, state, or output variables need to be addressed. In particular, the determination of invariant sets ensures local stability properties for constrained systems, polyhedral Lyapunov functions associated, and it allows to consider polyhedral convex sets. These sets have received special attention because of the propriety they use to fit the amplitude constraints. This thesis deals with the stabilization of discrete linear time-invariant systems by State Feedback (StF, State Feedback) and Static Output Feedback (SOF, Static Output Feedback) via polyhedral invariant sets. Initially, a method for stabilization by StF, based on rank restriction, was developed for the resolution of Positive Invariance algebraic conditions, which programming becomes linear in the decision variables. The problem of SOF stabilization of constrained systems could be approached via bilinear programming (PB). In the special case of systems subjected to persistent disturbances, which amplitudes are limited, the -invariance property is used, and ensures that any state trajectory that starts from a -invariant set shall remain in this set and it shall ultimately be limited in any of its subsets. The obtention of this propriety, for a set of a priori known state constraints via algebraic relations describing the -invariance, characterizes linear conditions with respect to the matrix variables involved, including the feedback gain matrix. In general, the state constraint set (X ? Rn) can not be made -invariant with a linear or even non-linear control law. In this context, the objective of this thesis is the joint determination of a linear control law SOF, a -invariant polyhedron, contained within X, and a more internal polyhedron where the trajectories are ultimately limited. Thus, a new set of algebraic conditions is proposed guaranteeing the propriety of -Invariance and the contractivity of an internal set of X for a more internal set which trajectories remain limited in it. The controller design methodology is based on the resolution of these algebraic relations via PB and the use of an objective function that considers the maximization of -invariant polyhedron and the minimization of a polyhedron with ultimately limited trajectories. The numerical examples presented show that using the non-linear KNITRO solver allows finding suitable and efficient solutions for both SOF and StF.