Algebra de Frobenius y nearly Frobenius para la categoría de adg

Abstract

El trabajo se centra en el estudio de la categoría de álgebras diferenciales graduadas de Frobenius. Esta categoría combina los conceptos de álgebras de Frobenius y de álgebras diferenciales graduadas. A los objetos de esta nueva categoría los denominaremos álgebras diferenciales graduadas de Frobenius. Probaremos que los resultados clásicos relativos a las K- álgebras de Frobenius valen en este nuevo contexto. Por ejemplo, uno de los resultados que probaremos sería que si A es un álgebra diferencial graduada de Frobenius de tipo finito simétrica podemos definir un coproducto graduado en A de forma tal que éste resulte un morfismo de A-bimódulos. Este coproducto junto a la forma de Frobenius ε le darán a A estructura de coálgebra graduada. En este sentido, veremos también que si A es un álgebra diferencial graduada de Frobenius podremos asociarle una familia de automorfismos de A que serán los automorfismos de Nakayama y estos serán la clave para probar que el resultado que acabamos de mencionar sobre la existencia de coproductos graduados en A vale aún si carecemos de la hipótesis de simetría para A. A lo largo de este trabajo, mostraremos que si bien las primeras definiciones y resultados están dadas en un contexto 0 graduado, de hecho las mismas definiciones pueden darse en un contexto n-graduado por medio de un corrimiento de grado a través de una función que llamaremos shift de grado n. La ventaja de tener las definiciones ahora en el contexto n graduado radica en que será más fácil encontar ejemplos de álgebras diferenciales graduadas de Frobenius con diferencial no trivial. También en este contexto definiremos lo que serán las álgebras diferenciales graduadas nearly Frobenius de grado n. Finalmente daremos dos ejemplos de álgebras diferenciales graduadas nearly Frobenius, una de dimensión finita y otra de dimensión infinita.