Homología del espacio de configuraciones del espacio proyectivo complejo

Abstract

Este trabajo es una introducción a los espacios de configuraciones de espacios topológicos, para ello en el capítulo I se da algunas definiciones y resultados de topología y algebra que serán utilizados en el presente trabajo. En el capítulo II se cubre la teoría fundamental de los espacios de configuraciones para espacios topológicos generales y muestra algunos resultados para ciertos espacios. Por ejemplo se tiene Conf(Sn, 2) ≃ Sn, Conf(Rn, k) ≈ Rn × Conf(Rn \ {0}, k − 1). En general el problema de conocer la configuracion de un espacio cualquiera aún no está resuelto. En el capítulo III , se presenta a un objeto que se relaciona con los espacios de configuraciones, las cuales son conocidas como trenzas, quienes fueron estudiadas por E. Artín en [2]. Para familiarizarnos con ellas damos una prueba geométrica que los grupos fundamentales del espacio de configuraciones ordenado y no ordenado de k puntos en R2 son isomorfos al grupo de trenzas puras y al grupo de trenzas de Artín respectivamente. Determinar la homología de los espacios de configuraciones para una variedad en general es un problema abierto. Nuestro objetivo es calcular el grupo de homología del espacio de configuraciones del espacio proyectivo complejo, es por eso que en el capítulo IV, se dan a conocer las variedades topologías y se estudia el espacio proyectivo complejo. Finalmente mostraremos que π1(Conf(CPn, 2)) = 0 lo cual nos dice que el espacio proyectivo complejo es simplemente conexo, y además H1(Conf(CPn, 2)) = 0 , ∀n ≥ 1.