Symmetry properties for the extremals of the Sobolev trace embedding

Abstract

In this article we study symmetry properties of the extremals for the Sobolev trace embedding H1(B(0, µ)) ,→ Lq(∂B(0, µ)) with 1 ≤ q ≤2(N − 1)/(N − 2) for different values of µ. These extremals u are solutions of the problem {∆u = u in B(0, µ), ∂u_∂η = λ|u|q−2u on ∂B(0, µ). We find that, for 1 ≤ q < 2(N − 1)/(N − 2), there exists a unique normalized extremal u, which is positive and has to be radial, for µ small enough. For the critical case, q = 2(N−1)/(N−2), as a consequence of the symmetry properties for small balls, we conclude the existence of radial extremals. Finally, for 1 < q ≤ 2, we show that a radial extremal exists for every ball.

Dans cet article nous étudions des propriétés de symétrie des extrémales de l’immersion de Sobolev H1(B(0, µ)) →Lq (∂B(0, µ)), où 1 q 2(N − 1)/(N − 2) en fonction du rayon µ. Ces extrémales sont solutions du problème {∆= u dans B(0, µ), ∂u_∂η = λ|u| q−2u sur ∂B(0, µ). Nous trouvons que, pour 1 ≤ q < 2(N − 1)/(N − 2), il existe une extrémale normalisée unique u, qui est positive et radiale, pour µ suffisamment petite. Dans le cas critique q = 2(N − 1)/(N − 2), comme conséquence des propriétés de symétrie pour des petits rayons, nous déduisons l’existence d’extrémales. Finalement, pour 1 < q ≤ 2, nous montrons qu’une extrémale radiale existe pour toute boule.