| dc.description.abstract | Se denomina plasma al estado de la materia compuesto por electrones libres, iones y átomos neutros, los cuales interactúan a distancia por medio de fuerzas electromagnéticas, exhibiendo un comportamiento colectivo que caracteriza a esta sustancia y la distingue de los demás fluidos y de otras formas de materia condensada. Una de las descripciones matemáticas más completas de los plasmas, de la cual es posible obtener resultados numéricos, es provista por la teoría cinética, donde el estado de cada especie es representado por una función escalar de probabilidad definida en el espacio de fases posición-velocidad.
La evolución temporal de la función de distribución de cada especie es descripta por la ecuación de Boltzmann junto con un modelo electromagnético apropiado como el dado por las ecuaciones de Maxwell. En el l´ımite donde los efectos colectivos son dominantes sobre las colisiones binarias entre partículas, la ecuación de Boltzmann se reduce a la ecuación de Vlasov. Si los campos magnéticos auto generados y externos son despreciables, entonces la fuerza de Lorentz se debe sólo al campo eléctrico, el cual puede calcularse a partir de la ecuación de Poisson en casos no relativistas.
Actualmente, existen dos clases de métodos numéricos para la simulación de la cinética de plasmas: los métodos de partículas (PIC) y los métodos Eulerianos (continuos o basados en grillas). Este trabajo está enfocado únicamente en los segundos, los cuales discretizan la función de distribución sobre una malla en el espacio de fases, y avanzan en el tiempo la ecuación de Vlasov directamente. Tienen la ventaja, en comparación con los PIC, de alcanzar alta precisión con bajo ruido, a expensas de un costo computacional mayor.
Las ecuaciones que gobiernan la cinética de plasmas son descriptas en detalle. Se introduce la derivación de la ecuación de Vlasov en su forma advectiva o de Liouville, y en su forma conservativa o de ley de conservación, tanto fuerte como débil. Ambas formulaciones son expresadas respecto de un sistema de coordenadas cartesianas y respecto de un sistema cilíndrico. Se destaca que este sistema de coordenadas cilíndricas no es el clásico (r, θ, z), sino que se trata de un sistema de coordenadas en un espacio de 6 dimensiones, cuya base no sólo es no global sino también no ortogonal, y presenta la dificultad adicional
de que los elementos de volumen y superficie varían con la coordenada radial.
Los métodos numéricos més ampliamente usados en la literatura científica para la simulación de la cinética de plasmas fueron estudiados e implementados computacionalmente. Se presentan y describen los esquemas basados en diferencias finitas de segundo
orden, los semi-Lagrangianos advectivos con distintos tipos de interpolación, los semiLagrangianos conservativos con reconstrucciones de distintos órdenes, y los más recientes basados en volúmenes finitos, los cuales combinan reconstrucciones polinómicas de altoorden con un integrador temporal explícito de tipo Runge-Kutta.
Con el objetivo de evaluar y comparar los distintos métodos implementados, se lleva a cabo una serie de benchmarks clásicos, los cuales son usados rutinariamente para verificar soluciones numéricas del sistema Vlasov-Poisson bidimensional. En los casos más simples, donde el análisis lineal provee soluciones semi analíticas aproximadas, los resultados numéricos obtenidos son contrastados contra las predicciones teóricas. Adicionalmente, se hace una breve comparación de performance entre los distintos códigos.
De entre todos los métodos estudiados, los basados en diferencias finitas y en volúmenes finitos son implementados en coordenadas cilíndricas para el tratamiento de problemas axialmente simétricos. Como primera prueba numérica en geometrías cilíndricas, se evalúa la capacidad de los esquemas para preservar en el tiempo una función de distribución en equilibrio termodin´ámico y uniforme en el espacio.
Finalmente, se simula el problema de una sonda de Langmuir cilíndrica inmersa en el plasma, cuyo potencial es variado abruptamente desde cero hasta un valor positivo relativamente grande. Tanto los electrones como los iones reaccionan ante esta polarización oscilando hasta alcanzar un nuevo estado estacionario. La importancia que tiene la correcta simulación de este caso particular reside en sus aplicaciones prácticas, como la caracterización de plasmas de laboratorio o el diseño de amarras espaciales electrodinámicas.
Para cada caso de pruebas estudiado, se describe y compara el comportamiento de los métodos numéricos implementados y se extraen conclusiones sobre las fortalezas y debilidades de cada uno. | |
