El problema matricial de Bochner

Abstract

Comenzamos introduciendo los conceptos necesarios para poder entrar en contexto del Problema matricial de Bochner, el cual plantea la pregunta: ¿Cuáles son los pesos matriciales de tamaño N cuya sucesión de polinomios matriciales ortogonales son autofunciones de algún operador diferencial matricial de segundo orden?. Usaremos la teoría de Biespectralidad para poder dar una solución a ese problema para los casos en que los pesos W cumplan que su álgebra de operadores asociada sea completa. También daremos un contexto específico en el cual será posible generar nuevos pesos no triviales que cumplan lo que plantea el Problema matricial de Bochner, partiendo de una suma directa de pesos clásicos escalares.

We begin by introducing the necessary concepts that are in order to enter the setting of the matrix Bochner problem, which poses the question: What are the N size weight matrices whose associated orthogonal polynomials are eigenfunctions of a second order differential operator?. We will use bispectral theory to give a solution to said problem when the operator algebra associated with W is assumed to be full. We will also provide a specific scheme which will allow us to generate new non-trivial weights that satisfy the Bochner condition, starting from a direct sum of classic scalar weights.