doctoralThesis
Transformada numérica de Fourier quaterniônica: definições e cenários de aplicação
Autor
SILVA JUNIOR, Luiz Carlos da
Institución
Resumen
A contribuição central desta tese é a introdução de uma transformada numérica de Fourier quaterniônica (QFNT, do inglês quaternion Fourier number transform ), isto é, uma transformada definida sobre quatérnios cujos coeficientes se encontram num corpo finito primo. O estabelecimento de tal ferramenta preenche uma importante lacuna existente na literatura de processamento / análise de sinais, uma vez que, até então, apenas transformadas de Fourier sobre quatérnios de Hamilton haviam sido investigadas. A definição e a caracterização da QFNT requerem a derivação de diversos resultados referentes aos chamados quatérnios generalizados, como aqueles relacionados às suas ordens multiplicativas e a extensão a esse contexto de proposições associadas à trigonometria sobre corpos finitos; tais resultados, que também são introduzidos nesta tese, apoiam o desenvolvimento de propriedades da QFNT e sugerem cenários em que esta pode ser aplicável. Sobre este último ponto, o presente trabalho se volta especificamente ao processamento de imagens coloridas e demonstra, a partir de uma investigação preliminar, que a QFNT pode ser útil na uniformização de histogramas com vista à cifragem de tais imagens. Além disso, a QFNT é empregada como base de um esquema de marca d’água frágil e não-cego, em que a marca é inserida de forma “espalhada” em todos os canais de cor da imagem; os resultados obtidos demonstram que, utilizando o referido esquema, a marca pode ser inserida respeitando os limiares usuais de degradação da imagem que a recebe. This thesis has as its main contribution the introduction of a quaternion Fourier number transform (QFNT, quaternion Fourier number transform), that is, a transform defined over quaternions whose coefficients lie in a prime finite field. The establishment of such a mathematical tool fulfills an important existing gap in the literature of signal processing / analysis, since only Fourier transforms over Hamilton quaternions had been investigated until then. The QFNT definition and characterization require the derivation of several results regarding the so called generalized quaternions, such as those related to their multiplicative orders and the extension to the current context of propositions associated to finite field trigonometry; such results, which are also introduced in this thesis, support the development of QFNT properties and suggest scenarios in which the transform can be applied. With respect to the latter, this work specifically turns to the processing of color images and, based on a preliminary investigation, demonstrates that the QFNT, it can be useful in uniformizing histograms with a view to the encryption of such images. Moreover, the QFNT is employed as the basis of a fragile non-blind watermarking scheme, where the watermark is “spread” across all color channels of an image; the obtained results show that, using the referred scheme, the watermark can be embedded without considerable degrading the corresponding host image.