ZUMELZU CÁRCAMO, Nicolás Eduardo, também é conhecido em citações bibliográficas por: ZUMELZU, Nicolás. CUEVAS HENRÍQUEZ, Claudio, também é conhecido(a) em citações bibliográficas por: CUEVAS, ClaudioUma equação diferencial é uma fórmula matemática que relaciona uma função com suas derivadas. Na matemática aplicada, as funções geralmente representam quantidades físicas, os derivados representam suas proporções de mudança e a equação define a relação entre elas. Como essas relações são muito comuns, as equações diferenciais desempenham um papel importante em várias disciplinas, incluindo engenharia, física, química, economia e biologia. Em matemática pura, as equações diferenciais são estudadas a partir de diferentes perspectivas, mais sobre o conjunto de soluções das funções que satisfazem a equação. Somente as equações diferenciais mais simples podem ser resolvidas por fórmulas explícitas; no entanto, algumas propriedades das soluções de uma determinada equação diferencial podem ser determinadas sem encontrar a sua forma exata. Se a solução exata não puder ser encontrada, ela pode ser obtida numericamente por uma aproximação usando computadores. A teoria dos sistemas dinâmicos enfatiza a análise qualitativa dos sistemas descritos por equações diferenciais, enquanto muitos métodos numéricos foram desenvolvidos para determinar soluções com um certo grau de precisão. As equações diferenciais podem ser divididas em vários tipos. Além de descrever as propriedades da própria equação, as classes das equações diferenciais podem ajudar a buscar a escolha da aproximação de uma solução. É muito comum que essas distinções incluam se a equação é: Derivados Ordinários ou Parciais, Lineares ou Não-Lineares e Homogêneos ou não Homogêneos. Esta lista é muito grande; existem muitas outras propriedades e subclasses de equações diferenciais que podem ser muito úteis em contextos específicos. Utilizando ferramentas de Análise Funcional e Topologia, estudamos propriedades de limitação e periodicidade assintótica de soluções brandas para a equação que modela as vibrações de Estruturas Flexíveis u’’ + αu’’’ = βΔu + Δu’ + f que possuem material com amortecimento interno e força externa f. Provamos que o conjunto composto de soluções brandas para este problema é compacto e conexo no espaço de funções contínuas. Esta propriedade é conhecida na literatura como propriedade de Kneser.CAPESA differential equation is a mathematical equation that relates some function with its derivatives. In applications, the functions usually represent physical quantities, the derivatives represent their rates of change, and the equation defines a relationship between the two. Because such relations are extremely common, differential equations play a prominent role in many disciplines including engineering, physics, economics, and biology. In pure mathematics, differential equations are studied from several different perspectives, mostly concerned with their solutions—the set of functions that satisfy the equation. Only the simplest differential equations are solvable by explicit formulas; however, some properties of solutions of a given differential equation may be determined without finding their exact form. If a self-contained formula for the solution is not available, the solution may be numerically approximated using computers. The theory of dynamical systems puts emphasis on qualitative analysis of systems described by differential equations, while many numerical methods have been developed to determine solutions with a given degree of accuracy. Differential equations can be divided into several types. Apart from describing the properties of the equation itself, these classes of differential equations can help inform the choice of approach to a solution. Commonly used distinctions include whether the equation is: Ordinary/Partial, Linear/Non-linear, and Homogeneous/Inhomogeneous. This list is far from exhaustive; there are many other properties and subclasses of differential equations which can be very useful in specific contexts. Using tools from Functional Analysis and Topology we study Lᵖ-boundedness and asymptotic periodicity of mild solutions for an abstract version of the damped wave equation u’’ + αu’’’ = βΔu + Δu’ + f which models the vibrations of flexible structures possessing internal material damping and external force f. We prove that the set consisting of mild solutions for this problem is compact and connected in the space of continuous functions. This property is known in the literature as the Kneser’s property.