In the first part of the present Thesis, the ground state (GS) properties of the quasi-one-dimensional AB₂ Hubbard model are investigated taking the effects of charge and spin quantum fluctuations on equal footing. Using a functional integral approach, combined with a perturbative expansion in the strong-coupling regime, we obtain the Lagrangian density associated with the charge (Grassmann fields) and spin [SU(2) gauge fields] degrees of freedom. In the strong-coupling regime, we derive a perturbative low-energy theory suitable to describe the ferrimagnetic phase at half filling and the phases in the hole-doped regime. At half filling, a perturbative spin-wave analysis allows us to find the GS energy, sublattice magnetizations, and total spin per unit cell in the Lieb ferrimagnetic GS of the effective quantum Heisenberg model, in very good agreement with previous results. In the challenging hole doping regime away from half filling, we derive the corresponding t-J Hamiltonian. Under the assumption that charge and spin quantum correlations are decoupled, the evolution of the second-order spin-wave modes in the doped regime unveils the occurrence of spatially modulated spin structures and the emergence of phase separation in the presence of resonatingvalence-bond (RVB) states. We also calculate the doping-dependent GS energy and total spin per unit cell, including both Zeeman and orbital contributions, in which case it is shown that the spiral ferrimagnetic order collapses at a critical hole concentration. Notably, our analytical results in the doped regime are in very good agreement with density matrix renormalization group (DMRG) studies, where our assumption of spin-charge decoupling is numerically supported by the formation of charge-density waves in anti-phase with the modulation of the magnetic structure. In the second part, motivated by analogy with photonic lattices, we examine the edge states of a one-dimensional trimer lattice in the phases with and without inversion symmetry protection. In contrast to the Su-Schrieffer-Heeger model, we show that the edge states in the inversion-symmetry broken phase of the trimer model turn out to be chiral, i.e., instead of appearing in pairs localized at opposite edges they can appear at a single edge. Interestingly, these chiral edge states remain robust to large amounts of disorder. In addition, we use the Zak phase to characterize the emergence of degenerate edge states in the inversion-symmetric phase of the trimer model. Furthermore, we capture the essentials of the whole family of trimers through a mapping onto the commensurate off-diagonal Aubry-André-Harper model, which allows us to establish a direct connection between chiral edge modes in the two models, including the calculation of Chern numbers.We thus suggest that the chiral edge modes of the trimer lattice have a topological origin inherited from this effective mapping. Also, we find a nontrivial connection between the topological phase transition point in the trimer lattice and the one in its associated two-dimensional parent system, in agreement with results in the context of Thouless pumping in photonic lattices.Na primeira parte da presente Tese, as propriedades do estado fundamental do modelo de Hubbard na rede quase-unidimensional AB₂ foram investigadas considerando os efeitos das flutuações quânticas de carga e spin em pé de igualdade. Usando uma abordagem de integral funcional, combinada com uma expansão perturbativa no limite de acoplamento forte, obtivemos a densidade de Lagrangiana associada aos graus de liberdade de carga (campos de Grassmann) e de spin [campos de calibre SU(2)]. No regime de acoplamento forte derivamos uma teoria perturbativa de baixa energia, adequada para descrever a fase ferrimagnética no regime de banda semi-cheia e as fases no regime dopado por buracos (ausência de elétrons). No regime de banda semi-cheia, uma análise perturbativa das ondas de spin (excitações magnéticas) nós permitiu encontrar a energia do estado fundamental, as magnetizações das subredes e o spin total por célula unitária no estado fundamental ferrimagnético de Lieb do modelo efetivo quântico de Heisenberg, em muita boa concordância com resultados anteriores. No desafiante regime dopado por buracos fora da banda semi-cheia derivamos o correspondente Hamiltoniano t-J. Sob a hipótese de que as correlações quânticas de carga e spin estão desacopladas, a evolução dos modos de ondas de spin, em segunda ordem de perturbação no regime dopado, revela a ocorrência de estruturas de spin espacialmente moduladas e o surgimento da separação de fases na presença de estados de ligação de valência ressonante (RVB). Também calculamos a energia do estado fundamental dependente da dopagem e o spin total por célula unitária, incluindo tanto as contribuições tipo Zeeman quanto as orbitais, caso em que é mostrado que a ordem espiral magnética colapsa em uma concentração crítica de buracos. Destacamos que nossos resultados analíticos no regime dopado estão em muita boa concordância com estudos numéricos de grupos de renormalização de matriz de densidade (DMRG), onde nossa suposição de desacoplamento de spin-carga é evidenciada pela formação de ondas de densidade de carga em anti-fase com a modulação da estrutura ferrimagnética. Na segunda parte, com motivação na analogia com redes fotônicas, examinamos os estados de borda de uma rede unidimensional trimerizada nas fases com e sem proteção de simetria de inversão. Em contraste com o modelo Su-Schrieffer-Heeger, mostramos que os estados de borda na fase com quebra de simetria de inversão do modelo do trímero se revelam quirais, ou seja, em vez de aparecerem em pares localizados em bordas opostas eles podem aparecer em uma borda só. Destacamos que esses estados de borda quirais permanecem robustos a fortes amplitudes de desordem aleatória. Além disso, usamos a fase de Zak para caracterizar o surgimento de estados de borda degenerados na fase com simetria de inversão do modelo de trímeros. Por outro lado, nós capturamos os fundamentos de toda a família de trímeros através de um mapeamento no modelo de Aubry-André-Harper não diagonal, que permite estabelecer uma conexão direta entre os modos de borda quirais nos dois modelos, incluindo o cálculo dos números de Chern. Neste contexto, sugerimos que os modos de borda quirais da rede trimerizada têm uma origem topológica herdada deste mapeamento efetivo. Além disso, encontramos uma conexão não trivial entre o ponto de transição da fase topológica na rede trimerizada e aquela do sistema bidimensional associado, em concordância com resultados no contexto de bombeamento de Thouless em redes fotônicas.