Tesis
A natural constraint for solving Schrödinger equations with G-symmetry and general nonlinearities
Fecha
2022-08-01Registro en:
PINA, Gilberto da Silva. A natural constraint for solving Schrödinger equations with G-symmetry and general nonlinearities. 2022. 124 f. Tese (Doutorado em Matemática) — Universidade de Brasília, Brasília, 2022.
Autor
Pina, Gilberto da Silva
Institución
Resumen
Neste trabalho, consideramos dois problemas. No primeiro capítulo, estabelecemos a
existência de uma solução positiva para a equação não linear de Schrödinger
− ∆u + V (x)u = f(u), u ∈ D1,2
(R
N ), N ≥ 3, (℘1)
com potencial V que é invariante sob uma ação de grupo G ⊂ O(N), onde O(N) é o grupo
de transformações ortogonais, e decai para zero no infinito, com uma taxa apropriada,
aproximando-se da equação de campo escalar limite do tipo massa zero; e a não linearidade
f, sob suposições muito suaves, é assintoticamente linear ou superlinear e subcrítica no
infinito, não satisfazendo nenhuma condição de monotonicidade. Nós lidamos tanto com
ações de grupos finitos quanto com ações de grupos infinitos.
No segundo capítulo, estudamos a existência de uma solução positiva para uma equação não linear de Schrödinger
− ∆u + V (x)u = f(u), u ∈ H
1
(R
N ), N ≥ 3, (℘2)
onde o potencial V é uma função positiva, invariante sob uma ação de grupo G ⊂ O(N),
que decai para um potencial constante positivo V∞ no infinito. Como no primeiro problema, a não linearidade f, sob suposições muito suaves, é assintoticamente linear ou
superlinear e subcrítica no infinito, não satisfazendo nenhuma condição de monotonicidade.
Em ambos os problemas a existência de solução da equação é estabelecida em situações
onde o nível mínimo de energia não pode ser obtido, usando a composição de dois sólitons
transladados e sua projeção na chamada variedade de Pohozaev. No entanto, ao final
de cada capítulo, justificamos que o método aplicado também é válido para qualquer
composição finita desses sólitons.