BFC-Teoremas para comutadores

Abstract

Dado um grupo G e um elemento x ∈ G, escrevemos xG para a classe de conjugação contendo x. Um grupo é dito ser um BFC-grupo se suas classes de conjugação são finitas de tamanho limitado. Em 1954, B. H. Neumann demonstrou que G é um BFC-grupo se, e somente se, seu grupo derivado G' é finito. Em 1957, J. Wiegold encontrou o primeiro limitante para a ordem de G'. Neste trabalho estamos interessados em grupos nos quais as classes de conjugação contendo comutadores são finitas de tamanho limitado e também em grupos nos quais as classes de conjugação contendo elementos-quadrados são finitas de tamanho limitado. Obtivemos os seguintes resultados: Sejam G um grupo e n um inteiro positivo. Se |xG| ≤ n para qualquer comutador x ∈ G, então o segundo grupo derivado G" tem ordem finita n-limitada. Se |xG'| ≤ n para qualquer comutador x ∈ G, então γ3(G') tem ordem finita n-limitada. Além disso, se H e o subgrupo gerado por todos os elementos-quadrados de G e |xH| ≤ n para qualquer quadrado x ∈ G, então γ3(H) tem ordem finita n-limitada. Além da demonstração dos resultados, apresentamos um limitante explícito parana ordem de cada um dos subgrupos citados.