Grupos autossimilares intransitivos

Abstract

Neste trabalho estudamos representações autossimilares de grupos em Am, o grupo de automorfismos da árvore m-ária regular Tm. Um grupo abstrato é dito ser au- tossimilar se ele admite uma representação autossimilar fiel em alguma árvore Tm; quando a representação autossimilar induz ação transitiva no primeiro nível da árvore, dizemos que o grupo é autossimilar transitivo. Um procedimento pa- drão para construção de representação autossimilar transitiva de um grupo foi por meio de um único endomorfismo virtual do grupo em questão. Recentemente, foi mostrado que este procedimento, quando aplicado ao produto entrelaçado restrito Z o Z, não pode produzir representação autossimilar transitiva fiel para qualquer m ≥ 2 (veja [3]). Estudamos subgrupos autossimilares de Am sem assumir ação transitiva no primeiro nível de Tm. Esta ação geral é traduzida em um conjunto de endomorfismos virtuais correspondentes à diferentes órbitas da ação no primeiro nível de Tm. Com este novo procedimento, produzimos representações autossimi- lares fiéis, algumas das quais são também finita por estado, para vários grupos tais como Z (ω) , Z o Z e (Z o Z) o C2. Também estendemos resultados de Brunner-Sidki [5], sobre subgrupos abelianos autossimilares transitivos de Am ao caso geral, onde o grupo de permutação induzido no primeiro nível da árvore tem s ≥ 1 órbitas. Provamos que um tal grupo A, na sua representação na árvore, imerge em um único subgrupo abeliano de Am o qual é autossimilar e auto-centralizante. Por fim, mostramos que o grupo nilpotente de classe 3 e livre de torção, N3,4, de Bludov-Gusev [27], não é autossimilar.