Parallel H-Matrices accelerated isogeometric boundary element method implementation applied to acoustics internal and external problems

Abstract

Uma implementação paralela da formulação do método dos elementos de contorno isogeométrico acelerada pelas matrizes hierárquicas é apresentada neste trabalho. A implementação está disponível online em github.com/alvarocafe/BEM\textunderscore base e contém testes baseados em problemas de acústica interna e externa para os quais soluções analíticas estão disponíveis. A formulação descrita nesse trabalho utiliza curvas de Bézier obtidas de NURBS através de um procedimento de extração de Bézier. Arquivos de CAD com especificações abertas como IGES em geral utilizam curvas NURBS que podem ser utilizadas para a extração, mas um editor de NURBS em Julia é apresentado para construir os modelos utilizados nesse trabalho. É possível também obter os pontos de controle, pesos e ordem de curvas específicas NURBS e obter a representação como curvas de Bézier sem prejuizo em precisão ou continuidade. Uma vez que o domínio é representado como um retalho de curvas ou superfícies de Bézier, esse retalho compõe o contorno da representação direta do método dos elementos de contorno. O domínio consiste no volume apontado pelo vetor oposto ao vetor unitário normal no contorno. Cada curva de Bézier pode ser considerada como um elemento de contorno, com o cuidado de não se utilizar os pontos de controle como os pontos de colocação, pois eles podem e muitas vezes não se encontram no contorno, e sim construir pontos posicionados de forma conveniente na curva. Sendo as condições de contorno aplicadas a elementos individuais, o resultado é um sistema linear $N\times N$, sendo $N$ o número de curvas de Bézier que compõe o contorno. A montagem do sistema é realizada através de matrizes hierárquicas por interpolação utilizando polinômios de Lagrange. Isso significa que as as matrizes de influência serão representadas como matrizes de baixo rank, especificamente, como um produto matricial de outras pequenas matrizes, chamadas blocos. Essa representação é conveniente pois a memória necessária para armazenar uma matriz é reduzida, de acordo com o rank dessa matriz. Utilizando esse método, a matriz de influência completa nunca é armazenada, uma vez que o sistema linear é resolvido utilizando o método dos mínimos resíduos generalizados. Esse procedimento permite que problemas maiores sejam resolvidos para uma mesma configuração de hardware. A implementação é utilizada para resolver um problema inverso usando algoritmos genéticos para obter a configuração de um modelo axissimétrico tridimensional a partir da informação do fluxo acústico em pontos discretos. A otimização foi utilizada para inferir a configuração de um trato vocal utilizando apenas 20 pontos de informação do fluxo acústico em uma linha reta entre a glote e a boca. Um levitador acústico não resonante foi implementado experimentalmente e numericamente e a resposta acústica é comparada com imagens obtidas pelo método de Schlirien com boa concordância. O levitador utilizado é baseado no projeto TinyLev, que usa 72 transdutores ultrassônicos ao invés de falantes de Langevin para produzir a levitação. O levitador é modelado utilizando o BEM e uma bancada experimental é apresentada para providenciar imagens de Schlirien da onda acústica estacionária.