Trabajo de grado - Pregrado
Teorema de punto fijo de Lefschetz: generalizaciones y aplicaciones
Fecha
2021Registro en:
instname:Universidad de los Andes
reponame:Repositorio Institucional Séneca
Autor
Mora Cuellar, Natalia
Institución
Resumen
La tesis presenta los resultados necesarios para entender los teoremas de punto fijo clásicos en topología, algunos resultados de la geometría diferencial que permiten calcular el número de Lefschetz en contextos más generales que el originalmente considerado por Lefschetz, y aplicaciones de los teoremas de punto fijo a contextos como el estudio de la estructura de grupos de Lie compactos. El primer capítulo tiene como objetivos entender el Teorema de punto fijo de Lefschetz como un resultado que identifica invariantes topológicos que garantizan la existencia de puntos fijos en funciones continuas y presentar dos aplicaciones del teorema: el Teorema de punto fijo de Brouwer y la prueba topológica del Teorema fundamental del álgebra. El segundo capítulo establece una forma de calcular el número de Lefschetz en el contexto de la geometría diferencial. La observación fundamental es que los puntos fijos de una función de una variedad M en sí misma corresponden a los puntos de intersección de la gráfica de la función y la diagonal del espacio MxM, de manera que usando la cohomología de de Rham y la dualidad de Poincaré es posible establecer una fórmula integral para el cálculo del número de Lefschetz en términos del dual de Poincaré de la gráfica de la función y de la diagonal. Por último, se muestra que, si la gráfica y la diagonal se intersecan transversalmente, entonces el número de Lefschetz puede ser calculado con el determinante del diferencial de la función en cada punto fijo. En el último capítulo se enuncia el Teorema de Atiyah-Bott, una generalización de la fórmula diferencial del número de Lefschetz y se demuestra que, aplicado al complejo de de Rham, se recupera la fórmula mencionada anteriormente. Por último se presentan los resultados básicos de grupos de Lie para aplicar los dos teoremas de Lefschetz centrales en el proyecto al demostrar que todo grupo de Lie compacto y conexo puede ser descompuesto como la unión de conjugados de un toro maximal The project shows the necessary results to understand the classical fixed-point theorems on topology, some results on differential geometry that allow to compute the Lefschetz number on broader contexts than the one considered originally by Lefschetz, and applications of the fixed point theorems in the theory of compact Lie groups. The major purpose of the first chapter is to understand the Lefschetz fixed point theorem as a result that identifies topology invariants that guaranty the existence of fixed points of continuous functions and present two applications: the Brouwer fixed point theorem and a topological proof of the Fundamental Theorem of Algebra. The second chapter establishes a way to compute the Lefschetz number in the context of differential geometry. The fundamental observation is that the fixed points of a function of a manifold M in itself correspond to the points of intersection of the graph of the function and the diagonal of the space MxM, so that using the cohomology of de Rham and the Poincaré duality it is possible to establish an integral formula for the calculation of the Lefschetz number in terms of the Poincaré dual of the graph of the function and the diagonal. Finally, it is shown that, if the graph and the diagonal intersect transversely, then the Lefschetz number can be computed using the determinant of the differential of the function at each fixed point. In the last chapter is stated the Atiyah-Bott Theorem, a generalization of the differential formula for the Lefschetz number, and it is shown that, applied to the de Rham complex, the aforementioned formula is recovered. The document ends by presenting the basic results of Lie groups to apply the two central Lefschetz theorems in the project to show that any compact and connected Lie group can be decomposed as the union of conjugates of a maximal torus.