Dois Teoremas de Brauer : demonstração e aplicações

Abstract

Sejam G um grupo finito e R um subanel de C que contém Z. Richard Brauer demonstrou que uma função de classe de G é um R-caráter generalizado se, e somente se, sua restrição a qualquer subgrupo elementar de G é uma R-combinação linear de caracteres irredutíveis desse subgrupo. Ele também demonstrou que todo caráter irredutível de G pode ser escrito como uma Z-combinação linear de caracteres obtidos por indução sobre caracteres lineares de subgrupos elementares de G. Nesta dissertação, apresentamos as demonstrações destes dois fundamentais teoremas seguindo o livro de Isaacs. Em seguida, demonstramos dois resultados que aprimoram o segundo Teorema de Brauer. O primeiro, devido a Wilde, considera a hipótese adicional que o grupo é solúvel e o segundo, demonstrado por van der Waall, considera o caso de caracteres não principais. Para finalizar, apresentamos algumas aplicações desses importantes Teoremas de Brauer. Vamos definir uma particular função de classe e mostrar que um múltiplo apropriado dessa função é um caráter generalizado. Esta função de classe aparece em vários problemas computacionais e apresentamos um deles. Em particular, vamos mostrar que os grupos PSp(4; 3) e Sp(4; 3) não são (2; 3)-gerados. _______________________________________________________________________________________ ABSTRACT

Let G be a finite group and R be a subring of C such that Z ? R. Richard Brauer showed that a class function of G is a R-generalized character if, and only if, its restriction to any elementary subgroup of G is a R-linear combination of irreducible characters of this subgroup. Moreover, he showed that every irreducible character of G can be written as a Z-linear combination of characters obtained by induction from linear characters of elementary subgroups of G. In this dissertation, we will present the proof of these fundamental theorems following Isaacs' book. Afterwards, we will prove two results that improve the second Brauer's Theorem. The first one is a result of Wilde, obtained adding the hypothesis that the group is solvable. The second result, estabilished by van der Waall, considers characters that are not principal. To conclude, we will present some applications of these important theorems due to Brauer. We will define a particular class function and show that an appropriate multiple of this function is a generalized character. This class function appears in many computational problems and we will present one of them. In particular, we will show that the groups PSp(4; 3) and Sp(4; 3) are both not (2; 3)-generated.