Elementos computacionales de la teoría de invariantes polinomiales de grupos finitos

Abstract

En este documento mostramos un procedimiento para calcular polinomios generadores del anillo de invariantes cuando nos es dada la acción de un grupo finito sobre un álgebra polinomial. El primer resultado presentado en este trabajo es el Teorema de la base de Hilbert, el cual permitió concluir que las álgebras polinomiales son noetherianas. A partir de este resultado, profundizamos en la prueba del teorema de Noether que establece que el álgebra de invariantes es finitamente generada. Dadas estas herramientas, presentamos una primera prueba del Teorema de la cota de Noether, el cual establece cotas para el número de generadores del álgebra de invariantes y para el grado de dichos generadores cuando el campo base es de característica cero o mayor que el orden del grupo. Esta prueba provee un primer procedimiento para calcular un conjunto finito de polinomios que generan el álgebra de invariantes. Más adelante, introducimos los polinomios orbitales y las clases orbitales de Chern como herramientas para calcular el álgebra de invariantes. Dados estos conceptos, mostramos una segunda prueba de la cota de Noether.

In this document we show a procedure for computing a set of polynomials that generate the ring of invariants, given the action of a finite group on a polynomial algebra. The first result presented in this work is Hilbert¿s basis theorem, which allowed us to prove that polynomial algebras are Noetherian. From this result, we delve into the proof of Noether¿s theorem, which establishes that the algebra of invariants is finitely generated. Given these tools, we present a first proof of Noether¿s bound, a result that establishes bounds for the number of generators of the algebra of invariants and for the degree of these generators when the base field has characteristic zero or greater than the group¿s order. This proof provides a first procedure for computing a finite set of polynomials that generate the algebra of invariants. Subsequently, we introduce orbit polynomials and orbit Chern classes as tools for computing the algebra of invariants. Using these concepts, we show a second proof of Noether¿s bound.