H*-vectors of smooth fano polytopes and their duals

Abstract

"En este documento estudiamos dos aspectos de la teoría de Ehrhart de politopos enteros. Primero, resumimos los resultados conocidos sobre el h* vector y probamos algunas desigualdades del vector h*- para politopos smooth Fano de dimensión 4 y 5 que no aparecen en la literatura. También proporcionamos una prueba de que los politopos duales smooth Fano y los politopos Delzant reflexivos son la misma familia. En la segunda parte del documento consideramos politopos con ciertas simetrías y estudiamos el efecto sobre los vectores h* vectores. Demostramos que solo asumir que el grupo de simetría es no trivial, no implica desigualdades más fuertes o adicionales en el vector h*- de polígonos enteros. Sin embargo, bajo la hipótesis de que el polígono entero es centralmente simétrico, obtenemos una nueva desigualdad. Finalmente presentamos la teoría equivariante de Ehrhart introducida por Stapledon. ." -- Tomado del formato de documento de grado

"In this document we study two aspects of the Ehrhart theory of lattice polytopes. First, we summarize known results on the $h^\ast$ vector and prove some inequalities on the $h^*$-vector for smooth Fano polytopes of dimension $4$ and $5$ that do not appear in the literature. We also provide a proof that dual smooth Fano polytopes and Delzant reflexive polytopes are the same family. In the second part of the document we consider polytopes with certain symmetries and study the effect on $h^\ast$ vectors. We show that simply assuming that the symmetry group is nontrivial does not imply stronger or additional inequalities on the $h^*$-vector of lattice polygons. However, under the hypothesis that the lattice polygon is centrally symmetric we derive a new inequality. Finally we present the equivariant Ehrhart theory introduced by Stapledon." -- Tomado del formato de documento de grado