Ultrafiltros y el problema de grupos topológicos extremadamente disconexos

Abstract

In 1967 Arhangel skii wondered if there are nondiscrete extremally disconnected topological groups. Soon after, Sirota showed that, for the countable case, its existence is consistent by assuming CH. Several of the results found later showed a relationship between these groups and ultrafilters with some combinatorial property. In 2017 the problem was solved by Reznichenko and Sipacheva for the countable case, by showing that the existence of one of these groups implies the existence of a rapid filter. In the work some of the main results that relate countable nondiscrete extremally disconnected topological groups with ultrafilters with combinatorial properties are explored. To begin, the filters that will be of interest to us are exposed, various definitions are given for each one and how they are related one to another. After this, we study some left invariant topologies with a certain maximality property, built from a given filter; then we use these topologies to show the existence of extremally disconnected left topological groups. We continue with the study of discrete sets in countable topological groups, where we show a series of results on discrete sequences and then we strengthen some of these by restricting to the case of Boolean groups. In the last chapter we demonstrate the results that directly relate the filters to the nondiscrete extremally disconnected topological groups. We begin by showing that if there is a selective ultrafilter, then it is possible to construct an extremally disconnected topological group. Then, we proceed to show that under some extra hypotheses, the existence of a countable nondiscrete extremally disconnected topological group implies the existence of a P-point or a selective ultrafilter. We conclude the work with the theorem that states that the existence of such groups implies the existence of a rapid filter.

En 1967 Arhangel skii se preguntó si existen grupos topológicos extremadamente disconexos no discretos. Al poco tiempo sirota mostró que, para el caso contable, es consistente su existencia asumiendo CH. Varios de los resultados encontrados más adelante presentaban una relación entre estos grupos y ultrafiltros con alguna propiedad combinatoria. En 2017 el problema se terminó de resolver por Reznichenko y Sipacheva para el caso contable, al mostrar que la existencia de estos grupos implica la existencia de un ultrafiltro rápido. En el trabajo se exploran algunos de los resultados principales que relacionan los grupos topológicos contables extremadamente disconexos no discretos con ultrafiltros con propiedades combinatorias. Inicialmente, se exponen los filtros que serán de nuestro interés, de cada uno se dan diversas definiciones y se muestra cómo se relacionan entre sí. Tras esto, estudiamos algunas topologías izquierdo-invariantes con cierta propiedad de maximalidad, construidas a partir de un filtro dado; luego usamos dichas topologías para mostrar la existencia de grupos izquierdo-topológicos extremadamente disconexos. Continuamos con el estudio de conjuntos discretos en grupos topológicos contables, donde mostramos una serie de resultados sobre sucesiones discretas y luego fortalecemos algunos de estos al restringirnos al caso de grupos booleanos. En el último capítulo demostramos los resultados que relacionan directamente los filtros con los grupos topológicos extremadamente disconexos no discretos. Empezamos mostrando que si existe un ultrafiltro selectivo, entonces es posible construir un grupo topológico extremadamente disconexo. Luego, procedemos a mostrar que bajo algunas hipótesis extra, la existencia de un grupo topológico contable extremadamente disconexo no discreto implica la existencia de un P-punto o un ultrafiltro selectivo. Concluimos el trabajo con el teorema que afirma que la existencia de tales grupos implica la existencia de un filtro rápido.