The moduli stack of elliptic curves

Abstract

By moduli space of Riemann surfaces of genus g, where g is a non-negative integer, we mean the set of isomorphism classes of complex analytic structures on a closed oriented surface of genus g, fixed once and for all. It is not clear \textit{a priori} why this definition makes sense, nor whether this set has an extra structure, turning it into some kind of \textit{space}. In this memoir, we focus on these questions in the genus 1 case. As a matter of fact, we shall also fix some extra data: a base point on our genus 1 curve. The moduli space we obtain by doing this is called the moduli space of elliptic curves and the goal of the thesis is to show that this space is a complex analytic space, in a sense that we will make precise along the way.

"Por el espacio moduli de superficies de Riemann de genero g, nos referimos al conjunto de clases de isomorfismo de estructuras complejo-analíticas sobre una superficie cerrada orientada de genero g, fijo de una vez por todas. No es claro a priori por qué este conjunto es un espacio o tiene propiedades intrínsecas. En este trabajo, nos concentramos en esta pregunta para el caso de genero 1. El objetivo del trabajo es demostrar que el espacio moduli obtenido es un espacio complejo-analítico, en un sentido que se precisara a lo largo del trabajo."--Tomado del Formato de Documento de Grado.