Trabajo de grado - Pregrado
Teorema de Keisler-Shelah
Fecha
2019Registro en:
instname:Universidad de los Andes
reponame:Repositorio Institucional Séneca
Autor
Soto Moreno, Paulo Andrés
Institución
Resumen
El teorema de Keisler-Shelah afirma que dado un lenguaje L arbitrario, dos L-estructuras son elementalmente equivalentes si y sólo si existe un ultrafiltro para el cual sus ultrapotencias son isomorfas. La instancia en la que L es contable es un teorema estándar de la teoría de modelos y su demostración se apoya en argumentos de saturación y la hipótesis del continuo. El problema radica entonces en extender este resultado para lenguajes de cardinal arbitrario k, y para ello, se construye un tipo de ultrafiltro cuyo rol es central para asegurar que las ultrapotencias de una estructura sean k-saturadas. Tales ultrafiltros se denominan k-buenos. El objetivo de este documento es entender dos instancias del teorema de Keisler-Shelah, primero considerando el caso clásico de estructuras de primer orden y, después, el caso de estructuras métricas de la lógica continua. Por último, se dará una demostración del teorema omitiendo la hipótesis del continuo generalizada, debida a Shelah. The Keisler-Shelah isomorphism theorem asserts that, given an arbitrary language L, two L-structures are elementary equivalent if and only of there exists some ultrafilter for which its corresponding ultrapowers are isomorphic. The instance in which L is countable is a standard theorem from Model Theory, and its proof relies on saturation arguments and the continuum hipothesis. The problem lies in extending this result to languages of arbitrary power k, thus, we construct a type of ultrafilter whose role is determinant to ensure that ultrapowers become k-saturated. Such ultrafilters are called k-good. The objective of this document is to understand two set ups of the Keisler-Shelah isomorphism theorem, first the one of first order logic, and then the case of metric structures of the continuous logic. Finally, we will prove the isomorphism theorem by omitting the generalized continuum hypothesis, following the proof by Shelah.