Cuantificadores cardinales en lógica continua

Abstract

La lógica continua CL satisface el análogo de la caracterización de Lindstrm de la lógica de primer orden en términos de compacidad y el teorema descendente de Lwenheim-Skolem. Una pregunta razonable es si existen extensiones propias de CL cerrada bajo las operaciones continuas y satisfaciendo alguna forma de compacidad. Se conocen muchos ejemplos en el entorno clásico, pero ninguno en el marco continuo. Por ejemplo, si Q_k es el cuantificador cardinal "existen k elementos tal que...", la lógica L(Q_k) es una extensión numerablemente compacta de lógica de primer orden cuando k es el primer cardinal no contable y L(Q_(k^+)) es compacto para las teorías del tamaño h, si k^h=k. En esta tesis presentamos una noción de cuantificador generalizado continuo y mostramos que para una versión continua de Q_k la lógica CL(Q_k) es enumerablemente compacta cuando k es el número de Beth del primer cardinal no contable. Más generalmente, CL(Q_{\beth_k}) satisface compacidad para teorías de tamaño menor que cof(k) y CL(Q_{\beth_k}) satisface compacidad para teorías de tamaño menor que k cuando k es débilmente compact. Estos y otros resultados relacionados dependen de una combinación de teoremas de ultraproductos y propiedades de particiones.

Continuous logic CL satisfies the analogue of Lindstrm's characterization of first-order logic in terms of compactness and the downward Lwenheim-Skolem theorem. A natural question is whether there are proper extensions of CL closed under the continuous logical operations and satisfying some form of compactness. Many examples are known in the classical setting but none in the continuous framework. For example, if Q_k is the quantifier "there are k many...", the logic L(Q_k) is a well known countably compact extensions of first-order logic when k is the first uncountable cardinal and L(Q_(k^+)) is compact for theories of power h, if k^h=k. In this thesis, we introduce a notion of continuous generalized quantifier and show that for a continuous version of Q_k the logic CL(Q_k) is countably compact when k is the Beth number of the first uncountable cardinal. More generally, CL(Q_{Beth_k}) satisfies compactness for theories of power less than cof(k) and CL(Q_k) satisfies compactness for theories of power less than k when k is weakly compact. These and other related results depend on a combination of ultraproduct theorems and partition properties.