Topological conditions in geometric and Maslov quantization

Abstract

Among the most important theories in physics is quantum mechanics which, in contrast to classical mechanics, uses topology in addition to differential geometry. Specifically, in this work, we will study the well-known geometric quantization procedure due mainly to B. Kostant and J-M. Souriau, and then compare it to an alternative geometric quantization method using the Maslov index due to J. Czyz. Given a symplectic manifold, that generally models a classical physical system, we wish to quantize the Poisson algebra of observables on it. The idea is to construct a Hilbert Space associated to the symplectic manifold and associate to each smooth function a self-adjoint operator acting on H. This construction is done in such a way that the Dirac quantization conditions hold. The full process consists of three steps. The first is called prequantization, in which a topological condition (on the cohomology class of the symplectic form) gives rise to a geometric space...

Entre las teorías más importantes de la física se encuentra la mecánica cuántica que, a diferencia de la mecánica clásica, utiliza la topología además de la geometría diferencial. En concreto, en este trabajo estudiaremos el conocido procedimiento de cuantización geométrica desarrollado principalmente por B. Kostant y J-M. Souriau, y luego lo comparamos con un método alternativo de cuantización geométrica que utiliza el índice de Maslov y fue desarrollado por J. Czyz. Dada una variedad simpléctica, que generalmente modela un sistema físico clásico, deseamos cuantizar el álgebra de Poisson de observables en esta. La idea es construir un espacio de Hilbert H asociado a la variedad simpléctica y asociar a cada función suave un operador autoadjunto que actúa sobre H. Esta construcción está hecha de tal manera que se cumplan las condiciones de cuantización de Dirac. El proceso completo consiste de tres pasos. El primero se llama precuantización, en el que una condición topológica...