Este trabajo presenta el problema en Ecuaciones Diferenciales Parciales denominado conjetura de De Giorgi, el cual pregunta sobre la clasificaci´on de las soluciones globales de la ecuaci´on ∆u = u 3 − u teniendo en cuenta que u ∈ C 2 (R n ), |u| ≤ 1, ∂nu > 0, la conjetura afirma que los conjuntos de nivel de la soluci´on llamada u para n = 2 son l´ıneas rectas, para 3 ≤ n ≤ 8 son hiperplanos. Este problema est´a probado para n = 2, 3, utilizando teoremas de regularidad el´ıptica, minimalidad local y teorema de tipo de Liouville (1997,[17]). Para los resultados parciales con n = 4 se hace mucho ´enfasis en la simetr´ıa de la soluci´on. En las conclusiones obtenidas hasta el momento para 4 ≤ n ≤ 8 se usa fuertemente la Γ-convergencia, la idea es obtener una funci´on que converge en L 1 loc a la funci´on caracter´ıstica y que sea ortogonal a un vector unitario a. Como es bien sabido, a´un no se tiene una demostraci´on para 4 ≤ n ≤ 8, sin embargo, si existen contraejemplos para n ≥ 9. Posteriormente, se hace menci´on de algunos trabajos que datan de algunas variantes que ha tenido la conjetura. Inicialmente entre las variantes est´a la soluci´on de la conjetura con hip´otesis adicionales sobre los l´ımites en la direcci´on mon´otona, luego el an´alisis de los minimizadores globales, la estabilidad de las soluciones en la conjetura, los extremos de las soluciones que son finitas y el ´ındice de Morse par para n = 2 y un avance para n = 3, la conjetura fraccionaria de De Giorgi; para esta variante se usa el laplaciano fraccionario y para terminar, se muestran avances de la conjetura de De Giorgi para la ecuaci´on de Caffarelli-Berestycki-Nirenberg y la ecuaci´on de Lane-Emden teniendo en cuenta los exponente de Sobolev y Joseph-Lundgren.This work presents the problem in Partial Differential Equations which has been called De Giorgi’s conjecture, about classification of global solutions of the equation ∆u = u 3 − u with u ∈ C 2 (R n ), |u| ≤ 1, ∂nu > 0, the conjecture states that the level sets of the solution named u for n = 2 are straight lines and for 3 ≤ n ≤ 8 are hyperplanes. This result is tested for n = 2, 3, using elliptic regularity theorems, local minimality and Liouville type Theorems. For n = 4 is need emphasis on the symmetry of the solution. For the conclusion in this moments to 4 ≤ n ≤ 8 the Γ-convergence is strongly used to obtain a function that converges on L 1 loc to the characteristic function that is orthogonal to a unit vector a. It is well known there is not yet a proof for 4 ≤ n ≤ 8, but there are counterexamples for n ≥ 9. Subsequently, some works about the variants of De Giorgi’s conjecture are made. Initially, the solution of the conjecture with the additional hypothesis about the limits in the monotone direction, afterward analysis of the global minimizers, the stability of the solutions in the conjecture, the extremes of the solutions which are finite, and the even Morse index for n = 2 and progress for n = 3, the fractional De Giorgi conjecture; for this variant, the fractional Laplacian is used, and finally, advances of the De Giorgi conjecture are shown for the Caffarelli-Berestycki-Nirenberg equation and the Lane-Emden equation taking into account the Sobolev and Joseph-Lundgren exponent.MaestríaMagíster en MatemáticaIndice general Agradecimientos IV Resumen V 1. Formulaci´on del problema 5 1.1. Descripci´on de la propuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Marco de referencia conceptual y estado del arte . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Variantes de la conjetura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.4. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5. Aspectos metodológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2. Conceptos preliminares a la conjetura 13 2.1. Espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2. Operadores el´ıpticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3. Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4. Acotamiento el´ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3. Demostraci´on de la conjetura para dimensiones 2 y 3. 25 3.1. Soluci´on de la conjetura de De Giorgi para dimensi´on 2 . . . . . . . . . . . 26 3.2. Soluci´on de la conjetura de De Giorgi para dimensi´on 3 . . . . . . . . . . . 32 1 2 4. Conjetura de De Giorgi para 4 ≤ n ≤ 8. 49 4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.2. Conjetura de De Giorgi para n = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.3. Resultados parciales para n ≤ 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5. Variantes a la Conjetura 59 5.1. La ecuaci´on de Allen-Cahn y la conjetura de De Giorgi . . . . . . . . . . . 60 5.2. Teorema de De Giorgi-Savin sobre minimizadores globales. . . . . . . . . . 66 5.3. Soluciones estables de la conjetura de De Giorgi . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.4. Soluciones finitas y el ´ındice de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.5. Soluciones de dos-extremos en R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.6. Soluciones de dos-extremos en Rn, n ≥ 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.7. Conjetura fraccionaria de De Giorgi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.8. Conjetura de De Giorgi para problemas sobredeterminados: La conjetura de Berestycki-Caffarelli-Nirenberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.9. Conjetura de De Giorgi para la ecuaci´on de Lane-Emden. . . . . . . . . . . 80 6. Conclusiones y recomendaciones 83 A. Anexo 87 A.1. Inmersiones de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 A.2. Primera y segunda variación de la Energía y reescalamiento . . . . . . . . . 89 A.3. Γ-Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 A.4. Monotonía y simetría en el semiespacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 A.5. Superficies mínimas y Gráficos minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 A.6. Lapaciano fraccionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 A.7. Teoremas asociados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Bibliograf´ıa 101