Trabajo de grado - Pregrado
Bifurcación y estabilidad de soluciones periódicas para la ecuación de Duffing forzada y amortiguada
Registro en:
Universidad Tecnológica de Pereira
Repositorio institucional Universidad Tecnológica de Pereira
Autor
Arroyave Florez, Juan Diego
Institución
Resumen
En el presente trabajo se hace un estudio cualitativo de la ecuación de Duffing no lineal con amortiguamiento lineal y forzamiento externo periódico.
Inicialmente, se estudiará la bifurcación de la ecuación homogénea tanto parael sistema es conservativo y como disipativo, así como un análisis de la función periodo que mostrara que esta es creciente. En segundo lugar, para la ecuación disipativa y no homogénea con forzamiento periódico, se mostrará la existencia
de soluciones periódicas mediante el método de sub y súper soluciones, además se usará el método perturbativo de Melnikov para establecer la persistencia de la órbita homonoclínica (del caso conservativo) y su relación con la aplicación de Poincare. Pregrado Licenciado(a) en Matemáticas y Física ´
Indice general
1. Introduccion 8 ´
1.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2. Objetivos espec´ıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Justificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 8
1.3. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Preliminares 10
2.1. Teorema de existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Sistemas con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3. Estabilidad de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4. Sistemas lineales homog´eneos con coeficientes periodicos . . . . ´ 22
2.5. Sistemas Hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6. Bifurcaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6.1. Bifurcacion tipo Pithfork . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 35
2.7. Sub y super soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 41
2.8. Aplicacion de Poincar ´ ´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.9. Caos en sistemas continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.9.1. M´etodo de Melnikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3. La ecuacion de Duffing homog ´ enea 50 ´
3.1. Caso conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.1. Potencial y bifurcaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.2. Funcion periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 58
3.2. Caso disipativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3. Ecuacion de Duffing con forzamiento peri ´ odico . . . . . . . . . . ´ 64
3.3.1. Soluciones periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 64
3.3.2. Persistencia de orbitas homocl ´ ´ınicas y aplicacion de Poin- ´
car´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4. Conclusiones 71
Apendices 71