Estudio básico de la existencia y unicidad de la solución para el problema de Dirichlet a través del método de Perrón

Abstract

In this work we study the existence and uniquessly of solution for the Dirichlet problem, where is an open, connected and bounded subset de RN, f is a continuous scalar eld on and g is continuous on the boundary of. For the case f = 0 some properties of the harmonic fuctions are analyzed and the existence of the solution is demostrated by the Perron method, this under a certain hypothesis of regularity of the domain boundary. In the general case the fundamental solution of the Laplace equation is constructed based on the properties of operator Laplaciano symmetry, a formula of integral representation for the solution fuction is deduced and it is demostrated that the solution veri es the problem data. Finally some geometric criteria that ensure the regularity in the boundary points are presented.

En este trabajo se estudia la existencia y unicidad de la solución para el problema de Dirichlet, es un subconjunto abierto, conexo y acotado de RN, f es un campo escalar continuo sobre y g es continuo en la frontera @ . Para el caso f = 0 se analizan algunas propiedades de las funciones armónicas y se demuestra la existencia de solución mediante el m etodo de Perron, esto bajo cierta hipótesis de regularidad en la frontera del dominio. En el caso general se construye la solución fundamental de la ecuación de Laplace a partir de las propiedades de simetría del operador Laplaciano, se deduce una fórmula de representación integral para la función solución y se demuestra que dicha solución veri ca. los datos del problema. Finalmente se presentan algunos criterios geom etricos que aseguran la regularidad en los puntos de la frontera.