Propriedades Características das Hiperesferas Euclidianas

Abstract

The study of hypersurfaces of Euclidean spaces which have a constant elementary symmetric function is a classical topic in Differential Geometry. In this topic the more simple geometric problem is to characterize the compact hypersurfaces and the prototypical result was obtained by H. Liebmann in 1899: the round spheres are the only compact surfaces in the three dimensional Euclidean space that have constant Gaussian curvature. In 1956 A.D. Alexandrov obtained a remarkable characterization of the Euclidean round hyperspheres: they are the only compact hypersurfaces of m-dimensional Euclidean space (m ¸ 3) that have constant mean curvature. The ideas used by Alexandrov became well-know as Alexandrovs reflection method and were used in several other problems. In 1977, R.C. Reilly presented a new proof of Alexandrovs theorem, the Reillys method, which also become fundamental tool in this topic. In fact, A. Ros in 1987, using the Reillys method, obtained a new extension of the Alexandrovs theorem characterizing the round hyperspheres as the only compact hypersurfaces of the m-dimensional Euclidean space that have a constant elementary symmetric function of the principal curvatures. This result implies, in particular, the Liebmanns theorem. In 1988, N. Korevaar presented a new proof of the Ross theorem, using the Alexandrov reflection method. The main goal of this Master thesis is to present proofs by Alexandrov, Reilly, Ros, and Korevaar of some theorems that characterizes the Euclidean round hyperspheres

O estudo das hipersuperfícies do espaço euclidiano que possuem alguma função simétrica elementar das curvaturas principais constante é um tópico clássico em Geometria Diferencial. Neste tópico o problema geométrico mais simples consiste em caracterizar as hipersuperfícies compactas, e o resultado prototípico foi obtido por H. Liebmann em 1899, no qual as esferas euclidianas são caracterizadas como as únicas superfícies compactas do espaço euclidiano tridimensional que possuem curvatura gaussiana constante. Em 1956 A.D. Alexandrov obteve uma caracterização notável das hiperesferas euclidianas, a saber, elas são as únicas hipersuperfícies compactas do espaço euclidiano m-dimensional (m 3) que possuem curvatura média constante. As idéias utilizadas por Alexandrov em sua demonstração tornaram-se conhecidas como o método de reflexão de Alexandrov e foram empregadas em vários outros problemas. Em 1977, R.C. Reilly apresentou uma nova demonstração para o Teorema de Alexandrov, cognominada o método de Reilly, que também revelou-se fundamental neste tópico. De fato, A. Ros, em 1987, utilizando o método de Reilly, obteve uma extensão do Teorema de Alexandrov no qual caracteriza as hiperesferas euclidianas como sendo as únicas hipersuperfícies compactas do espaço euclidiano m-dimensional que possuem alguma função simétrica elementar das curvaturas principais constante, reobtendo, em particular, o Teorema de Liebmann. Em 1988, N. Korevaar apresentou uma nova demonstração para o Teorema de Ros, utilizando o método de reflexão de Alexandrov. Esta dissertação tem por objetivo apresentar as demonstrações de Alexandrov, Reilly, Ros, e Korevaar para os teoremas que estabelecem algumas das propriedades características das hiperesferas euclidianas