Canonical trace and pseudo-differential operators on manifolds with boundary

Abstract

Esta tesis es acerca de la existencia y unicidad de la traza canónica para operadores pseudo-diferenciales de tipo log-polihomogeneo sobre una variedad con frontera. Por un lado, la traza canónica para operadores sobre una variedad cerrada (variedad compacta y sin frontera) fue definida, por Kontsevich, M. y Vishik, S., sobre una clase de operadores pseudo-diferenciales de orden no entero o de orden más pequeño que la dimensión de la variedad. Por otro lado, en el caso de una variedad con frontera L. Boutet De Monvel construye una álgebra de operadores pseudo-diferenciales asociado a problemas en la frontera, los operadores en tal álgebra requieren satisfacer la llamada propiedad de transmisión, tal propiedad requiere que el operador sea de orden entero, por lo cual el álgebra de Boutet de Monvel no es un espacio adecuado para estudiar la traza canónica. En esta tesis consideramos una clase apropiada de operadores pseudo-diferenciales de tipo log-polihomogeneo sobre una variedad con frontera, y extendemos la traza canónica a tal clase

This thesis addresses the existence (and uniqueness) of the canonical trace on log-polyhomogeneous pseudo-differential operators on manifolds with boundary. The canonical trace on closed manifolds was studied and popularised by Kontsevich, M. and Vishik, S. on appropriate classes of classical pseudo-differential operators, namely, operators which have non-integer order or order smaller than minus the dimension of the underlying manifold. On a manifold with boundary, L. Boutet De Monvel constructed an algebra to host pseudo-differential operators associated to boundary problems. Operators in this algebra are required the so-called transmission property with respect to the boundary. However, taking non-integer complex powers does not preserve the transmission property, so that Boutet de Monvel's algebra is not an adequate space to host the canonical trace in the case of a manifold with boundary. We consider an appropriate class of log-polyhomogeneous pseudo-differential operator on manifolds with boundary, and extend the canonical trace to such class