Modelagem matemática para a hepatite B por meio da derivada fracionária de Caputo

Abstract

Este trabalho apresenta uma investigação matemática e numérica da hepatite B por meio de modelos de ordem não inteira. Conceitos acerca da teoria do cálculo fracionário e de estabilidade para sistemas de ordens arbitrárias são abordados. Como aplicação, dois modelos formulados por meio de equações diferenciais fracionárias são introduzidos. O primeiro modelo é formulado sem parâmetros que indiquem a presença de terapia contra a doença, enquanto o segundo modelo considera a ação antiviral. A razão de reprodução básica e a análise de estabilidade são consideradas nos dois casos. Além disso, com intuito de analisar o comportamento das soluções para ambos os modelos, um estudo sobre o método de diferenças finitas não clássico é mostrado, bem como simulações numéricas são apresentadas. Os resultados numéricos mostram que as soluções convergem para o ponto de equilíbrio, conforme predito na análise de estabilidade. Para o modelo om terapia, visando encontrar a curva que ajusta os dados de pacientes, alguns parâmetros, incluindo a ordem da derivada fracionária, são estimados. Resultados da estimação mostram que a curva que se ajusta melhor aos dados reais possui ordem não inteira.

This work presents a mathematical and numerical investigation of hepatitis B using non-integer order models. Concepts about fractional calculus and stability theory to arbitrary orders systems are discussed. We apply fractional differential equations to two models, the first disregarding the use of drug therapy and the second considering drug therapy. The first model is formulated without parameter that indicate the drug therapy. The second one, consider the drug therapy. The basic reproductive number and the stability analysis are considered in both cases. Moreover, for analyzing the solutions of models, a study about the numerical method Nonstandard Finitte Diference Squemes is shown, as well as the numerical simulations are presented. The numerical results shows that the solutions converges to the equilibrium point, as predicted by stability analysis. In order to find the curve that fits the data, we estimated some parameters, including the order of the fractional derivative. Estimation results show that the curve that best fits the data has a non-integer order.