Análise de microestruturas heterogêneas através de uma formulação do método dos elementos de contorno considerando materiais com comportamento elástico

Abstract

Este trabalho tem como objetivo apresentar uma formulação do Método dos Elementos de Contorno (MEC) para análises de microestruturas heterogêneas, onde dentro da matriz podem ser definidos vazios ou inclusões com diferentes propriedades elásticas. A microestrutura é modelada por uma chapa em sub-regiões, onde diferentes valores de coeficientes de Poisson e módulo de Young podem ser definidos para cada sub-região. Para resolver as integrais de domínio escritas em termos de deslocamentos no plano, o domínio da matriz e das inclusões são discretizadas em células, onde os deslocamentos têm que ser aproximados. Assim, neste modelo, além de valores no contorno para deslocamentos e forças no plano, valores nodais de deslocamentos no plano são definidos também no domínio. Então, adotando-se técnicas de homogeneização, os valores homogeneizados para o tensor constitutivo e o tensor das tensões são calculados. A formulação é proposta dentro do contexto de análise em multi-escala de estruturas, onde a microestrutura do material é denominada de EVR (Elemento de Volume Representativo), sendo seu problema de equilíbrio definido em termos de flutuação dos deslocamentos. Neste trabalho será adotado comportamento elástico linear para os diferentes materiais (ou fases) do EVR, porém tal formulação pode ser facilmente estendida no futuro a fim de considerar deformações residuais. Nos exemplos numéricos, os resultados são comparados com uma formulação desenvolvida com o Método dos Elementos Finitos (MEF), a fim de validar o modelo proposto.

A formulation of the boundary element method (BEM) to perform elastic analysis of heterogeneous microstructures is presented. The microstructure is modelled as a zoned plate where voids or inclusions can be considered inside a matrix. Thus, each sub-region represents either the matrix or an inclusion, where different Poisson’s ratio and Young’s modulus can be defined. In the proposed model domain integrals in terms of in-plane displacements arise in the formulation, which are solved by discretizing the sub-regions into cells where the displacements are approximated. Thus, besides the boundary values for in-plane displacements and tractions, nodal values of in-plane displacements are defined in the domain. Although the proposed model can be used to analyse the stretching problem of plates composed by different materials, in this paper the formulation is proposed in the context of a multi-scale analysis, i. e. it will be used to model the RVE (Representative Volume Element), which equilibrium equation is solved in terms of displacement fluctuations. In this paper, only elastic behaviour will be considered for matrix and inclusions, although the proposed model can be extended to consider dissipative phenomena in the microstructure. To make the micro-to-macro transition necessary in a multi-scale analysis, the homogenized values for stress and constitutive tensor have to be computed adopting homogenization techniques. In a future work this formulation will be coupled to a BEM formulation to model the macro-continuum in order to perform the multi-scale using only the Boundary Element Method. Some numerical examples of heterogeneous microstructures are presented and compared to a formulation of the Finite Element Method to show the accuracy of the proposed model.