Valores propios asociados al operador de Hill unidimensional. Caso general.

Abstract

We study Hill’s equation with general boundary conditions and white noise potential.In [3] they solve the problem with Dirichlet conditions, leaving the general case unresolved.The problem is important both from the theoretical and the applied point of view, giventhe range of applications of the subject. Following [6], we give a description of thestandard brownian motion process, and mention some of its basic properties. We thenintroduce the equation to be studied, the remaining of the work being devoted to theanalysis of the asymptotic of eigenvalues.Keywords: Hill’s operator, boundary conditions, Brownian motion, eigenvalues.

Estudiamos la ecuaci´on de Hill con condiciones generales de frontera y potencial ruidoblanco. En [3] los autores resuelven el problema con condiciones de Dirichlet, dejandoel caso general sin resolver. El problema reviste importancia tanto desde un punto devista te´orico como aplicado, dado el rango de aplicaciones del tema. Siguiendo a [6],hacemos una descripci´on del movimiento browniano est´andar y sus propiedades b´asicas,para luego introducir la ecuaci´on que ser´a nuestro objeto de estudio. Posteriormentehacemos el estudio del comportamiento asint´otico de los valores propios.Palabras clave: Operador de Hill, condiciones de frontera, movimiento Browniano, valorespropios.